lOOO ACADEMIE DES SCIENCES. 



des conslanles ; elles sont évidemment la superposition de deux des fractions 

 continues régulières de catégories précédentes, mais celte circonstance rend 

 compte de faits au premier abord singuliers où interviennent les parités 

 des réduites. 



En ce qui concerne la convergence, le problème général, pour une fonc- 

 tion donnée, serait d'étudier la réduite (p^, v) quand les entiers a et v 

 grandissent indéfiniment suivant une loi quelconque. M. Padé a étudié à ce 

 point de vue, et de deux manières différentes, la fonction exponentielle e" . 

 La conclusion, bien digne de remarque, est que la réduite tend toujours 

 vers e*". 



Plusieurs problèmes étudiés antérieurement, notamment par Thomae et 

 Laguerre, sans remonter plus haut, sont des cas particuliers du problème 

 suivant : « Etudier le développement en fraction continue de la fonction 

 génératrice d'une quantité qui satisfait à une équation aux différences finies 

 linéaire et du premier ordre, à coefficients linéaires relativement à l'indice ». 

 D'après un théorème de Laplace, cette fonction satisfait à une équation 

 linéaire du premier ordre. M. Padé forme une équation linéaire du second 

 ordre dont les solutions sont étroitement reliées aux propriétés de la réduite 

 ([ji, v), l'une de ces solutions étant le dénominateur de la réduite. De là 

 se déduisent les relations de récurrence qui donnent les fractions continues 

 holoïdes, ainsi que les formules dont dépend l'étude de la convergence. Au 

 sujet de celle-ci, les résultais obtenus sont les suivants : les fractions conti- 

 nues régulières dont les réduites correspondent à [i. = const. sont conver- 

 gentes et représentent la fonction à l'intérieur d'une circonférence, ayant 

 l'origine pour centre et passant par un certain point A du plan, et 

 divergentes au dehors. On a une coupure reclilignc, prolongement de la 

 droite joignant l'origine au point A, pour les fractions continuesrégulières 

 correspondant aux parallèles à la bissectrice de l'angle des axes. Nous nous 

 sommes placé dans le cas général; il y a des cas intéressants de dégénéres- 

 cence dont M. Padé fait une élude approfondie. 



M. Padé a dû laisser de côté le cas, sans doute très difficile, où jj. et v 

 croissent indéfiniment d'une manière quelconque. Nous avons dit qu'il avait 

 traité complètement à ce point de vue la fonction exponentielle. Il y est 

 arrivé aussi pour le cas d'une fonction rationnelle. Soit une fonction ration- 

 nelle /" (^), dont le numérateur est de degré n et le dénominateur de degré m. 

 Il est clair que p. ne doit aller ici que de o km— i (v étant quelconque), 

 et V de o à /i — I (p: étant quelconque). Avec la première suite de réduites, 

 les convergences ont lieu respectivement dans les m circonférences ayant 



