SÉANCE DU 17 DÉCEMBRE 1906. lOOI 



l'origine pour centre et |)assant par les pôles de /(rr) placés dans Tordre 

 des modules croissants (les pôles exceptés, bien entendu); avec la seconde 

 suite on a un résultat analoj^ue, les pôles étant remplacés par les racines. 

 La question précédente conduit M. Padé à étudier de près le lien existant 

 entre les formules de Sylvester relatives aux polynômes se présentant dans 

 rap[)lication du théorème de Sturm et la théorie des fractions continues. Jl 

 généralise même ces formules, en considérant une fraction rationnelle quel- 

 conque à pôles simples, et donnant à l'aide de ces pôles et de leurs résidus 

 l'expression du dénominateur de la réduite (ix, v). Il suffit ensuite de prendre 

 une fraction rationnelle convenable formée avec un polynôme et sa dérivée, 

 pour retrouver le résultat classique de Sylvester. 



On voit, par ce qui précède, l'importance des recherches de M. Padé 

 sur les fractions continues algébriques. Il a ouvert une voie nouvelle, 

 en entreprenant l'élude du Tableau des réduites à double entrée, et beau- 

 coup de résultats, jusque-là sans liens, sont venus se grouper autour de cette 

 notion, et ont pu être généralisés. Ainsi, en ce qui concerne la convergence, 

 le champ dos recherches s'est trouvé agrandi cl Ton a vu que des circon- 

 stances très différentes se présentent en général suivant le choix des frac- 

 tions holoïdes ('). 



Les recherches de M. R. de 3Iontessus appellent aussi l'attention; 

 elles ont d'ailleurs, comme il est naturel en un sujet où tant de questions 

 étaient depuis longtemps posées, quelques points communs avec les travaux 

 de M. Padé. M. de Montessus, considérant d'abord un développement de 

 Taylor qui correspond à une fonction n'ayant, comme singularités, que des 

 pôles et des points singuliers essentiels, aborde l'étude de la convergence 



(') A la demande de M. Padé, la Commission a pris connaissance des deux plis 

 cachetés qu'il avait déposés dans les séances des 2 février et 22 juin igo3. Dans la 

 première de ces Notes, M. Padé donnait le principe de la méthode qu'il a suivie pour 



olilenir, dans une fraction ccmlinue, une valeur asvmptotique du rapport "^' des dé-- 



nomiiiateurs de deux réduites consécutives, quand V„ satisfait à une équation linéaire 

 aux différences finies dont les coefficients sont des polynômes en n; cette recherche 

 est ramenée à l'étude des singularités de la fonction génératrice correspondante de 

 Laplace. La seconde Note est relative à la formation et à l'étude d'une équation difle- 

 rentielle linéaire homogène et du second ordre, à laquelle satisfait le dénominateur de 

 la réduite (|a,v) se rapportant aux développements en fractions continues des fonc- 

 tions dont nous avons parlé plus haut; les calculs sont développés complélenienl pour 

 l'exponentielle. 



