SÉANCE D€ 17 DÉCEMBRE 1906. 10o3 



Le Mémoire de M. Auric renferme des résultats importants, lies plus 

 intéressants malheureusement ne sont pas entièrement nouveaux. M. Auric 

 considère d'abord des fractions continues dont les numérateurs partiels 

 sont égaux à un et les dénominateurs partiels des polynômes X„ dont le degré 

 reste fini. Dans le cas où il y a un exposant p de convergence pour la 



série S 1 X„ |, et si Ton désigne par ~ la réduite générale, il y a pour P„ deux 



limites suivant la parité de n, et pareillement pour Q„. Il avait échappé à 

 M. Auric que ce théorème, qui généralise un résultat de Stieltjes, avait été 

 donné, il y a dix ans, par M. von Koch, quand la série S j X„ | converge, 

 mais il lui reste, outre Textension indiquée, d'avoir obtenu le genre des fonc- 

 tions entières, limites des P et Q ; ce genre est au plus égal au produit par p 

 du degré maximum des polynômes X. Si nous considérons maintenant une 

 fraction continue dont les numérateurs partiels [v.,, sont des polynômes, les 

 dénominateurs étant égaux à Timilé, la série représentera une fonction 

 partout méromorphe, s'il y a un exposant de convergence pour la série S | [/.„!. 

 Ce résultat avait été aussi donné par M. von Koch, dans le cas de la conver- 

 gence de cette dernière série; ici encore, M. Auric aborde avec succès 

 l'étude du genre. 



Un point important dans les recherches de M. Auric est l'étude des frac- 

 tions continues asymptotiquement périodiques, on il généralise certains 

 résultats de M. van Vleck. Envisageons une fraction continue dans laquelle 

 les numérateurs partiels sont égaux à l'unité, et les dénominateurs par- 

 tiels An, fonctions d'une variable, ont une limite X pour « = co. Le théo- 

 rème de M. Poincaré sur les suites récurrentes joue un rôle essentiel dans la 

 recherche des conditions de convergence, et l'on voit s'introduire la racine 



de l'équation en a, A = a -f- - , qui a le plus grand module ; il y a en général 



convergence sauf sur certaines coupures qui correspondent aux valeurs 

 de la variable où les deux racines ont môme module. Le cas où A est 

 constant, réel et compris entre — 2 et -^ 2 exige un examen particulier. 

 D'intéressantes applications sont faites; si en particulier X„=a„a.', avec 



lim a„ = A, il y a convergence sauf sur la droite joignant le point + — 



au pomt — -r • 



M. Auric étend encore certains résultats obtenus par Stieltjes dans son 

 célèbre Mémoire, on prenant pour numérateurs partiels des constantes />„ 

 et pour dénominateurs partiels des expressions linéaires A„a; + (/.„, avec A„ 



