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que je désignerai par U(a:, y); celte fonction U est évidemment harmo- 

 nique si V satisfait à l'équation (i). On peut encore écrire, après une inté- 

 gration par parties, 



(.) u(..^) = v+^//[^ + ^-.g]v(L-„)<«<^,. 



Il faut déterminer la fonction harmonique U par la condition que ^ ait 



une valeur donnée (intérieure) sur le bord. 



3. Il n'est pas possible de tirer ici immédiatement (a et b n'étant pas 

 nuls) (le l'équation (2) la valeur de V en fonction de U au moyen des for- 

 mules usuelles, car la quantité entre crochets devient infinie comme - pour 



X = l,y = ■/}, en désignant par r la distance de (œ, y) à (^. yi). Mais cette 

 difficulté peut être surmontée, en faisant une sorte d'itération, comme on 

 le fait précisément dans des cas analogues relatifs à l'équation fonction- 

 nelle de Fredholm. On remplacera donc dans (2), sous le signe d'intégra- 

 tion, V(^, 7i) |)ar 



U(^.^)-i^//[^ + ^-<^'.^')G(^',V;^,.)]v(e,v,')rf^'rfV. 



On obtient alors une équation 



( V(^,y)+ rr/(^, ■o;a^,j)V(^.-o)rfU^ 



(3) -^ -^ 



( =^(-^'->')-i^j j [^^-t--V^-^Gju(^.-,)^E./^, 



où la fonction /(^, yi; ce, y), facile à former, devient seulement infinie 

 en (x, y) comme log [(^ — xy 4- (n — yY]- 



On peut alors se servir de l'équation (3) pour avoir explicitement V en 

 fonction de U. 



4. Il faut voir maintenant si l'on pourra prendre facilement sur le bord 

 la dérivée normale (intérieure) de la fonction qui est dans le second 

 membre, en supposant que l](x, y) soit une fonction harmonique que 

 l'on mettra sous la forme d'un potentiel de simple couche, 



(4) U(^,v,)=yp(a) log i,r/a. 



où r" = (^ — x'Y + (yi — y')-, en désignant par (x', y') le point du contour 

 correspondant à l'arc 5. 



