SÉANCE DU 24 DÉCEMBRE 1906. II II 



C'est une question qui demande quelque attention, mais qui ne présente 

 pas de sérieuses difficultés. On arrive ainsi à établir que, en un point du 



contour, la dérivée normale (intérieure) -j- de la fonction V tirée de 



l'équation (2), où U a la valeur (4), est susceptible de se mettre, à un 

 facteur près, sous la forme 



p(^)+ |F(5, <7)p('7)r/T, 



F(^, t) étant une fonction connue devenant infiniment grande seulement 

 ccmime log \s — a | ; on désigne ici |)ar s l'arc de C fixant la position du point. 

 On est donc ramené à une équation de Fredholm. 



Il est évident que la même méthode est applicable si, au lieu de —r--) on 

 se donne sur le bord la valeur de la somme 



-7- + ^V. 

 an 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles du second ordre 

 à points critiques fixes. Note de M. Paul Painlevé. 



1. J'ai indiqué une méthode pour former toutes les équations différen- 

 tielles (algébriques) du second ordre à points critiques fixes. Celte mé- 

 thode se décompose, en réalité, en deux méthodes distinctes : la |)reinière, 

 qui s'étend aux C(piations d'ordre quelconque, met en évidence un cer- 

 tain ensemble de conditions nécessaires pour que les jjoints critiques soient 

 fixes; la seconde, toute différente, a pour objet de démontrer que, dans le 

 cas (lu second ordre, ces concluions sont suffisantes. J'ai appliqué explici- 

 tement cette méthode aux équations de second ordre résolues par rapport 

 à y" , et même aux équations plus générales de la forme 



(i) y'=R(y'j.a;) 



où R est rationnel Qn y', algébrique en y, analytique en x. 



Quand une équation (i) a ses points critiques fixes, elle est nécessaire- 

 ment de la forme 



v"= A(j, x)y''+\},iy, x)y'- + C{y, x) 



et, moyennant une transformation y= -f — f^^ ^7^ dérerminable aleébri- 



•' -^ c{x)\ -hd(x) o 



