IH4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



^désignant une constante choisie arbitrairement. Si l'on calcule u'on trouve 



>'^ r I — X X / 1 



■ — ' ' j 



(4) + _2^ ( • + -^) + ,;'' ,, (2.r - y) 



y — x\x X — 1/ x''-(^x — i)^ 

 x{x 



— i) L(''' — 0/ ■^(7 — j — -ïJ' 



d' 



ou 



y" devant êlre remplacé ici par le second membre de (VI). 



Ces égalités montrent que, pour ^^'1=00 et j' arbitraire, l'expres- 



sion w ^ — reste finie. D'autre part, remplaçons y' en fonction de v,y, x 



dans (4) et (5); v' devient une fonction à deux branches de v, y, x, et un 

 calcul tout élémentaire montre que, pour y voisin de zéro, ces deux 



branches sont de la forme — j— -hj'(...); une remarque analogue s'ap- 

 plique aux valeurs J' = i , y ^ x, y = x). 



Four démontrer que l'équation (VI) n'a d'autres singularités mobiles 

 que Ae.'i pôles, il suffit dès lors de répéter, sans en changer un mot, le rai- 

 sonnement que j'ai développé à propos de l'équation (I) (^Bulletin des 

 Sciences mathématiques, t. XXVIII, 1900, p. 34-38). 



De plus, l'expression 11 n'a que des pôles simples et de résidu égal à + 1. 

 Si donc l'on pose U =e^"''^, U(x) n'a aucune singularité en dehors des 

 points fixes a? = o, x ^ 1, x =x ('). Celle fonction vérifie une équation 

 diiférentielie algébrique du troisième ordre facile à former, et l'intégrale 

 générale y de (VI) se laisse ainsi définir par le quotient de deux fonctions 

 n'ayant que les trois points singuliers o, i, 00, et définies à l'aide d'une 

 équation différentielle algébrique du troisième ordre. 



3. On construit sans peine, pour les équations (V) et (IV), des expres- 

 sions analogues a u el it i>. Mais la chose est inutile, car nous allons montrer 

 que les équations (I), (II), (III), (IV) et (V) sont des dégénérescences 

 de (VI). 



Montrons d'abord que l'équation (V) est une dégénérescence de (VI). 



(') On peut obtenir trois autres expressions analogues à 11, en faisant jouer ky=o, 

 ou à / r= I ou à y =.c le rôle que joue _y =r 00 dans u. 



