IIl6 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Faisons de même dans (IV) : 



P = -iïï' ""^-T?-^' j = r,(i + 2£Y). 



il vient 



y;;, = 8Y»+4XY + a, + £[...(; 



pour £ = o, l'équation se ramène à (II) par la transformation 



6. En définitive, (V) est une dégénérescence de (VI); (IV) et (III) 

 sont dégénérescences de (V); (II) est dégénérescence de (III) et de (IV). 



D'autre part, les équations (I) et (II) peuvent être rassemblées dans le 

 type unique 



y" = xy^ + 6y' H xy -h oc ; 



autrement dit, (I) est un cas particulier de (II). Comme j'ai montré que 

 l'équation (I) est irréductible, au sens le plus général du terme (sens de 

 M. Drach), il suit de là que les cinq équations (II), ..., (VI) sont absolu- 

 ment irréductibles, sauf peut-être pour des valeurs exceptionnelles de a, 

 P, y, S. Comme on connaît un multiplicateur de chacune de ces équations, 

 le sens précis de ce théorème est le suivant : Au point de vue de l'inté- 

 gration formelle, les équations (I), ..., (VI) (pour a, p, y, S arbitraires) 

 appartiennent à la même classe que l'équation la plus générale y" = R (^cc,y), 

 où R est rationnel en x,y. 



De plus, les formules de dégénérescence permettent aisément de déduire 

 des expressions uel v formées pour (VI) les expressions analogues qui cor- 

 respondent aux cinq autres équations. En particulier, y(x) se laisse repré- 

 senter par le quotient de deux fonctions qui sont entières pour (I), (II) 

 et (IV) et qui n'ont d'autres singularités que a; = o et a; = oo pour (III) 

 et (V). Ces fonctions dépendent d'une équation différentielle algébrique 

 du troisième ordre. Si, dans (III) et(V), on pose a? = e^ 7 devient une 

 fonction méromorphe de ^, quotient de deux fonctions entières. Pour (I), 

 (II) et (III), on retombe ainsi sur la représentation des intégrales que j'ai 

 indiquée jadis. 



Enfin, considérons la différentielle elliptique -^ , et soient 



V/(K-I)(J-^) 



w,(a7), bijÇx) ses demi-périodes, correspondant aux demi-lacets (co, o), 



