1128 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



La variation première est, en employant la transformation (li> dn Bois- 

 Reymond et désignant par h une constante arbitraire, 



SI 



=(^w-f.%'"'-')^^^'''-f'^'-y''>^' 



le symbobe Î5 désignera ici une dérivée partielle par rapport au paramètre 

 auxiliaire a. Posons 



(2) ?5j'=:— pQ, \y = ly' dx, 



p étant positif (nous le supposerons, pour le moment, constant) et h étant 

 déterminé de manière à rendre Sy nul pour x = a. 



Si la fonction /"admet, comme nous le supposons, des dérivées succes- 

 sives satisfaisant à la condition de Lij)schilz, le système (2) s'intègre sans 

 difficulté, par approximations successives, à la façon des équations diffé- 

 rentielles ordinaires, en supposant que l'on donne la courbe initiale, c'est- 

 à-dire la valeur de r, en fonction de x pour a = o. 



Si cette valeur initiale admet une dérivée seconde par raj)port à x, il en 

 est de même de la valeur de y pour une valeur quelconque de a, et l'on a 

 (|)our p constant) 



?ij"= — p[Ay"-|- o(x, y, y')], 

 <r-f / ,^ df , <r-f àV 



ùy-' rv-^'-"^ / dy ■' dydv' Ov'dr 



Quant à Si, il a la valeur toujours négative 



U = - f%Q-fIx. 



Bornons-nous maintenant aux fondions pnsilives/ qui (outre les hypo- 

 thèses de régularité précédentes) vérifient les conditions suivantes : 



1. k est positif et, même pour r' = ±oo, admet une limite inférieure 

 positive. 



2. Le rapport ^ admet une limite supérieure déterminée (même pour 



y = ±îo). 



Il en est ainsi, par exemple, poury^ ^[■■^(•^').^' " "•" ^I^X>' + *-'J''J* 

 L Supposons encore que : 



