SÉANCE DU 24 DÉCEMBRE 1906. 1 1 29 



3. L'expression 



c'est-à-dire la variation seconde débarrassée des termes en h^y, 8*j', est 

 toujours positive et même (conformément aux conclusions bien connues de 

 Scheeffer et de Kneser) dans un rapport non infiniment petit avec son pre- 

 mier terme / A Sy- de. 



''il 



Alors Pi sera toujours positif et supérieur à — RSf, R étant un nombre 

 fixe. 



Donc, pour a infiniment grand, M tend vers zéro suivant une loi expo- 

 nentielle, et l'on trouve qu'il en est de même (quel que soit ,r) pour ^iy, 



grâce à ce fait (conséquence de l'hypothèse 2) que 1 y"'- dx et / h'"' dx 



restent Citn<. 



Ainsi y et y' tendent, pour y. = -h yo, fers des limiles qui vérifient les condi- 

 tions du problème. — On a même une limite siq)érieure de l'erreur com- 

 mise, tant sur y que sur y', en s'arrétant à une valeur déterminée de a. 



On détiuit de là que la solution du problème est unique, ce qui ne ressor- 

 tait |);is (les méthodes classiques. 



IL Si l'on abandonne l'hvpollièse 3, on constate encore que V tond 

 uniformément vers zéro; mais on ignore, a priori , suivant quelle loi. Néan- 

 moins la fonction y' tend encore soit vers une limite déterminée, soit vers 

 une infinité de limites qui toutes annulent la variation première. Ce 

 second cas serait évidemment exceptionnel; il ne pourrait se présenter 

 que s'il passait une infinité d'extrémales par les deux points donnés. Il est 

 d'ailleurs à présumer que même alors (au moins en ne prenant plus la 

 quantité p constante et en la choisissant convenablement) la limite serait 

 unique; et que, en général, l'hypothèse 3 serait vérifiée pour a suffisam- 

 ment grand. 



L'hypothèse 1, au moins pour v' fini, est évidemment dans la nature des 

 choses. Quanta l'hypothèse 2 et à l'hypothèse 1 pour j' infini, elles de- 

 viendront inutiles lorsqu'on prendra l'intégrale sous forme paramétrique. 



Au reste, il conviendra d'étudier de plus près l'application de cette 

 méthode, non à des exemples justiciables, comme le précédent, de pro- 

 cé lés élémentaires, mais à des problèmes moins aisés à élucider directe- 

 ment. 



