SÉANCE UU 24 DÉCEMBRE I ()((6. Il3l 



posons 



X'= <p,(.J7,,V, Z, p, (j. s, l, ...,/',,„, />„,„m). 



y=^'D.,(x,y, :, p, q, .v, /, ■ . ., p,,,„ Po.»+,), 

 z' = <f:i(x,y, z,p, q, s,f /',,«. /^,,,,,, ); 



?!» <Pj) ?3 désignant ces trois intégrales, nous allons montrer que z' consi- 

 dérée comme fonction de x', y' satisfait à une équation de Monge-Ampére. 

 Les expressions des dérivées premières et secondes de z' sont données par 

 les équations 



elz' — p' dx' — q' dy' =^ o, 



dp' — r' dx' — s' dy' = o, 



dq' — s' dx' — / dy' = o, 



où il faut remplacer r', y', z' par o, ■p^ cp,. On vérifie très aisément que/»' 

 et q' sont des intégrales de l'équation 



6»F , . dF 



f/.(a-, J, z, p, q, s, /) — = o. 



et r' , s', t' des intégrales de 



(4) ->- !^.(.:r, y, =, /;, 7, .s-, /) — = o. 



De plus, on peut remarquer que x' , y', ^', p', q' satisfont à cette der- 

 nière équation puisqu'elles ne contiennent pas les dérivées de z d'ordre 

 supérieur à /z -|- 2. 



j:-', j', z', p', q', ?•', s', /' sont des invariants de (y) d'ordre inférieur ou 

 égal -A n -h 5, c'esl-à-ilire des intégrales d'un système de 2/1 -h i équations 

 linéaires aux dérivées partielles du premier ordre; ce sont, en outre, des 

 intégrales de (4). Dans ces équations figurent -zn -f- 9 variables x, y, z, p, 

 q, s, l, .. •,p,.„+2, 7>'o.«+:i> '1 ne peut donc exister plus de sept intégrales 

 distinctes, c'est-à-dire que x',y', z', p', q', r, s', f sont liées par une re- 

 lation 



(5) gi^'yf' ^'< P'> (h ^'' *'''') =0; 



s'(.ï-'*, y') satisfait à une équation aux dérivées partielles du second ordre 

 qui est. du reste, une équalion de iMouge-Ampère. 



Nous aurions pu faire un raisonnement tout semblable en considérant 

 le second système de caractéristiques de l'équation donnée délini par 



