SÉANCE DU 6 JANVIER 1902. 29 



ANALYSE MATHÉMATIQUI':. — Sur certains systèmes d'équations linéaires 

 aux différentielles totales. Note de M. Emile Cottox. 



(( Les systèmes d'équations linéaires anx différentielles totales que 

 j'étudie ici sont une généralisalion des systèmes de Lie (formés d'équations 

 différentielles ordinaires) étudiés jîar M. Lie(') et par M. Vessiot (^). 



)) L Dans les équations finies d'un groupe 



(i) Xi=fi{x\, a-";a,,ao a,) {i = i, 0., . . ., n), 



remplaçons les paramètres a,, . . ., a^ par r fonctions <?,(«<,, . . ., u^), . . ., 

 Or(M,, • • -, Up) àep nouvelles variables m,, . . ., Up. Les n fonctions a;,- des 

 variables u ainsi obtenues constituent, quelles que soient les constantes a;", 

 un système de solutions d'un système complètement intégrable de la forme 



r 



(2) dx, = ^lj,-(cc)/j(du) (1=1,1 n). 



» Dans ces équations, les ^ sont les coefficients des dérivées de / dans 

 les transformations infinitésimales 



1=1 



du groupe (i). les Ij(du) désignent r expressions de Pfaff construites avec 

 les variables u et leurs différentielles. 



» Donnons-nous maintenant les transformations infinitésimales (3) d'un 

 certain groupe, et considérons a priori un système de la forme (2). Pour 

 qu'il soit complètement intégrable, il faut et il suffit que les Ij(du) et leurs 

 covariants bilinéaires Ij ( du, Sa) satisfassent aux identités 



(4) l,(da, hi) = 2 c,,ymdu)l,(U) -l^(hi)l^(da)], 



l. [X = l 



où les c désignent les constantes de structure du grouj)e (3). 



(') LiE-ScHEFFERS, Vorlesiin geii i'iber continuierliche Griippen, p. 791. 



(-) Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. VIII, II; 1894. — Ce Mé- 

 moire m'a servi de guide dans la plupart des recherches dont les résultats sont résu- 

 més ici. 



