3o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Nous appellerons systèmes (L) les systèmes complètement intégrables 

 de la forme (2). 



» II. Les systèmes (L) admettent un sysiéme fondamental de solutions. — 

 Voici ce que nous entendons par là : Soient (2) les équations d'un sys- 

 tème (L). Il existe un entier m et n fonctions J, des (m -+- i)n variables 

 Xf, . . ., x„; x\, . . ., ^„; ■ ■ ■; x"\ . . ., x"' possédant la propriété suivante. 

 Si l'on remplace les mn dernières variables x\, ...,x^ par m systèmes 

 déterminés, d'ailleurs quelconques, de solutions des équations (2), on 

 aura le système le plus général de solutions des équations ( 2) en résolvant 

 en 57, , . . . , x,t les équations 



J,(^l . • • •» ^^n j ^'1 ) • • •> ^1, ; • • • t ^, > • • •) ^„ ) ^= ' '('< 



où les C,- désignent des constantes arbitraires. 



» Réciproquement, si un système complètement intégrable d'équations 

 linéaires aux différentielles totales admet un système fondamental de solu- 

 tions, il est de la forme (2). La propriété précédente est donc une propriété 

 caractéristique des systèmes (L). 



» HT. La forme même des conditions d'intégrabilité (4) montre que si 

 l'on obtient un système (L) en adjoignant r expressions de Pfaff Ij(du) 

 aux traubformations infinitésimales ^j / d'un certain groupe, on aura 

 encore un système (L) en adjoignant les mêmes expressions de Pfaff aux 

 transformations infinitésimales d'un groupe Yy/" holoédriquement iso- 

 morphe au précédent. (Les deux groupes Xy/ et Yy / sont supposés rap- 

 portés isomorphiquement l'un à l'autre.) 



» Cette remarque permet d'établir, pour les systèmes (L), des théorèmes 

 analogues à ceux que M. Vessiot a donnés, pour les systèmes de Lie, dans les 

 Chapitres I et II du Mémoire cité plus haut. Je me contente d'énoncer ici 

 les deux suivants, relatifs au cas où les équations finies du groupe (3) 

 sont connues. 



» L'intégration de (2) et celle du système obtenu en adjoignant les lj(^du) 

 aux transformations infinitésimales du groupe des paramètres du groupe (3) 

 sont deux problèmes équivalents. 



» L'intégration de (^2) revient à celle du système linéaire obtenu en adjoi- 

 gnant aux lj(^du) les transformations infinitésimales du groupe adjoint du 

 groupe (3), et, en outre, à des quadratures lorsque (3) admet des transfor- 

 mations infinitésimales distinguées. 



» IV. En résumé, si l'on met à part les conditions d'intégrabilité dont 

 on n'a pas à s'occuper à propos des systèmes de Lie, il y a une analogie 



