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série 2. — ^■^^ semi-convergente et a pour somme o, on [leiit avoir 



M(/')>'^'"'""''"'' '-, 



f{x) croît alors exactement comme une fonction de genre p — i ; elle peut 

 être, elle sera souvent la somme de deux fonctions de genre/? — i. J'ai pu, 

 en lu'appuyant sur ces considérations et en faisant des hypothèses peu 

 restrictives sur la répartition des zéros, former une infinité de couples de 

 fonctions de genre o, dont la somme est de geni-e i. 



» Mais il importe de remarquer <|ue, dans le cas en question, y"(.r) 

 pourrait, à un certain point de vue, être considérée comme étant de genre 



p — I, puisque la série 2u~ conrer^e (quoique non absolument). 



» 3. Le problème du genre écarté, l'étude de la croissance Ae f(^x) ne 

 pourra être vraiment utile que si l'on compare /(a:) à /'(a;) et à ses dérivées 

 successives. J'ai obtenu, dans cet ordre d'idées encore inexploré, un cer- 

 tain nombre de résultats : je vais énoncer les principaux : 



» Soit g{x) = ' f. [ et soit cp(/") une fonction à croissance régulière, 



telle que i<^o(i). Pour r assez- i>rand il existe, quel que soit r. des valeurs 

 de telles que 



(5) ç(Ae'»)<//i^^^^^' (//positif fini). 



Il existe aussi une infinité de valeurs /■, do r pour lesquelles on a, quel que 

 soit 6, la même inégalité (5). 



» La réciproque est immédiate : j'en déduis qu'on a, en une infinité de 

 points, 



y(x-) = £"=?"■', / ' {x) = [..cp' (r) e^^^'\ 



avec 



A| <[^ fj. <^ /i, logr (A et ^1 nombres finis), 



ce qui permettra, par exemple, d'évaluer l'ordre et le genre d'une fonction 

 entière satisfaisant à une équation dilTérentielle donnée du premier ordre. 



» S'il existe un angle fini y, ayant pour sommet l'origine et ne con- 

 tenant aucun zéro, l'inéi^alité (5) sera vérifiée en tout point z de cet 

 angle. De plus, on aura le droit de la dériver autant de fois que ion voudra. 



» S'il n'existe pas d'angle y, nous nous contenterons du résultat sui- 

 vant : soit une aire X proportionnelle à r (par exemple, un carré ayant 

 ses côtés parallèles aux axes de coordonnées et égaux à nr); soit n le 



