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» Déterminons le nombre n par l'égalité 



I a;| := 4'(")- 



» On a, sur une infinité de cercles de rayons indéfiniment croissants, 



(i) \g{^)\<h'-~^ (A positif fini). 



» La même inégalité est satisfaite, quel que soit \oe\, en une infinité de points 

 de module \x\. 



» Partant de l'égalité 



^(-)=lâ 



je démontre d'abord que, quel que soit x, la somme des termes pour les- 

 quels on a 



ai 



<: ou 



^ I + a 



> I + a 



(a étant un nombre positif), est inférieure à la limite (i). 



» Pour évaluer les autres termes, nous nous servirons d'une remarque 

 qui peut donner lieu à plusieurs applications. 



» Soient un segment de longueur /et v points/,, r.,, ... , r, sur ce segment. 

 Divisons-le en n segments égaux ^,, . . ., 5„, n étant supérieur à /fv, et mar- 

 quons d'un signe convenu certains de ces segments, en procédant comme 

 il suit : Si 5, contient q points t i, nous marquerons 5,, puis q segments à 

 droite et q segments à gauche de Si. Si l'un des segments ainsi marqués, Sj, 

 contient à son tour ^' points r,, nous marquerons encore les q' segments 

 qui suivent s^^^, et les q' segments qui précèdent Si_q. Nous aurons marqué 

 finalement 3v segments au plus. Si r est un point de l'un des segments 

 restants (r^ < /' <] /"a+i )» nous aurons 



et des inégalités analogues pour les points r^ situés à gauche de r. 



» On peut présenter autrement ce résultat en disant que, pour 

 une infinité de valeurs de \x\, la limite que l'on obtiendra pour la 



somme y -j ; rr ne sera pas plus élevée que si la distribution des 



^\\x\-\ai\\ ^ ^ 



points I a,| était uniforme. De là on déduit aisément la proposition 

 énoncée. 



