SÉANCE DU 20 JANVIER 1902. l55 



» La même méthode conduit sans peine à d'autres résultats du même 

 genre. Considérons l'inégalité 



(2) k(-^)l< — 1^1 (//positif fini) 



et soit A une aire proportionnelle à \o:\-. Nous pouvons démontrer que les 

 régions de l'aire A où l'inégalité (2) n'est pas satisfaite forment une aire 

 infiniment petite par rapport à l'aire totale A. 



» On peut établir également que l'on a, en même temps que l'inéga- 

 lité (2) et dans les mêmes régions, l'inégalité 



(3) \g'(-)\<'^^'^j^- 



» Cette inégalité fournit une limite supérieure des fonctions méro- 

 morphes satisfaisant aux deux premiers types d'équations différentielles 

 du second ordre, signalées par M. Painlevé. Dans l'inégalité (3) «sera, en 

 tout cas, comparable à /'"', p étant l'ordre dej (x); pour les fonctions 

 entières de M. Painlevé, cet ordre aura l'une des valeurs | et 3 que j'ai 

 indiquées dans ma précédente Note. 



» La remarque faite plus haut sur la distribution des points «, peut 

 servir aussi à préciser notablement un théorème de M. Hadamard. 



» Supposons, pour simplifier, que l'ordre p de/(x) ne soit pas entier. 

 On peut démontrer que l'on a, sur une infinité de cercles de rayons indé- 

 finiment croissants, 



f{x)^e-''", 



h étant un nombre fini, et n avant la même signification que plus haut. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Remarque sur la Communication précédente. 



Note de M. Paul Painlevé. 



« Tous les analystes apprécieront à leur haute valeur les résultats con- 

 tenus dans les deux dernières Communications de M. P. Boutroux. Je 

 voudrais insister ici sur leur application aux équations différentielles du 

 second ordre. 



» Les équations du second ordre et du premier degré qui engendrent 

 des transcendantes uniformes nouvelles sont réductibles, comme je l'ai 



