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» En premier lieu, déduisons quelques séries particulières assez inté- 

 ressantes. 



» En prenant d'abord 



on trouve la série de factorielles de Binet, et l'on peut démontrer que 

 cette série est convergente pourvu que ^(a;) > o. 

 » Prenons ensuite 



/•(0 = (i + 0^ 



la fonction génératrice a les mêmes propriétés que la précédente. Ici nous 

 obtiendrons les séries de Schlomilch, qui représentent comme des cas par- 

 ticuliers le logarithme-intégrale et la transcendante de Kramp. Ces séries 

 sont convergentes aussi pourvu que ^(;r) > o. 

 » Soit enfin 



mêmes propriétés de (p(:;)et même champ de convergence. Nous trouvons 

 ici la série de factorielles, nouvelle, je crois, pour la fonction 



Y<W(^) - Z'W(^), 



où Y"''(a:) est la fonction cylindrique de seconde espèce, tandis que l'on a 

 posé 



o.-I^^- 



Z"^'(a;) = ^ — / sin(a7sin(p)(coscp)-'^rf(p, a([x)>> , 



v/^r , 



2 



fonction qui est analogue à la fonction cylindrique de première 

 espèce $'i^'(a;). 



» Dans une autre occasion je montrerai, en m'appuyant sur les re- 

 cherches générales de M. U. Dini, dans son Ouvrage Série di Fourier {\.. I, 

 Pise, iSSo, et des parties inédites du Tome II), qu'il n'est pas possible de 

 développer une fonction arbitraire en série infinie où ^'^\x) et Z'W(a;) 

 jouent le même rôle que cosa; et sina; dans les séries de Fourier. Cepen- 

 dant, il est possible de développer dans une telle série des fonctions non 

 développables en séries ordinaires de Fourier. 



» Revenons maintenant aux problèmes plus généraux concernant les 

 séries de factorielles. 



