SÉANCE DU 20 JANVIER 1902. 139 



» Il est évident qu'une fonction de x ne jjeut être développée que d'une 

 seule façon selon des factorielles de l'argument x. Quant au dévelopfie- 

 ment selon des factorielles de l'argument aa: + p, a. et jî étant deux con- 

 stantes finies, nous avons d'abord 



Q. 



{x - ^.) = f\{Z)7.-^-' dZ; 



c'est-à-dire que la fonction génératrice deû(a; — p) sera o(Z)Z~P, ce qui 

 montre clairement que Q.(^x) peut être développée en série de facto- 

 rielles de l'argument x + p. Nous aurons de même 



i2( - 

 a 





oii la dernière intégration doit être effectuée de / = o à / = co le long de 



la ligne droite passant par le point -• Or, il faut nécessairement que cette 



intégration s'effectue le long de l'axe des nombres positifs; pour obtenir 

 cela, intégrons le long de la circonférence d'un secteur de rayon infini- 

 ment grand et limité par les deux lignes droites susdites. De cette manière, 

 l'intégrale de Cauchy donnera 



o ( ^ ) = a ^" o ( f-=" ) r-'-' dl . 



pourvu que l'on ait à la fois 



^(o'.)>o, jR.(a-)>o, ,'îi(j:— aA)>o, ia(- )>■)., 



> désignant le premier nombre caractéristique de cp (Z). 



■» Supposons maintenant ou que cp(Z) soit holomorphe dans toute 

 l'étendue du plan, ou que Z = o soit le seul point singulier fini de «p(Z), 

 Z = o est toujours le seul point singulier fini de ^(Z") et le nombre carac- 

 téristique de cette fonction est respectivement — ^(a) et X,3l(a). 



» Posons CLX au lieu de x, nous aurons le développement cherché, dont le 

 champ de convergence se détermine aisément. 



» Le coefficient général se présente sous celte forme remarquable : 



n — 1 



2C>.«-'-'./"'-^(o), f{l) = o{e-'). 



