222 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



M 11 s'ensuit 



Or, cette dernière équation entraîne nécessairement les n conditions 

 linéairement indépendantes 



i 'w,{x)i^(x)dx — o (j"= I, 2, ...,«). 



» On trouve qu'elles sont aussi suffisantes et, si elles sont satisfaites, 

 chaque solution de l'équation 



est donnée par l'équation 



n 



où les C, sont des constantes arbitraires. » 



GÉOMÉTRIE. — Sur la résolution des points singuliers des surjaces algébriques . 

 Note de M. Beppo Levi, présentée par M. Picard. 



« La question de transformer birationnellement une surface algébrique 

 quelconque en une autre qui n'ait que des singularités ordinaires est fon- 

 damentale pour la théorie des fonctions algébriques de deux variables. 

 Plusieurs auteurs s'en sont occupés sans parvenir toutefois à des démons- 

 trations valables pour tous les cas. En 1897, j'ai présenté à l'Académie des 

 Sciences de Turin une démonstration complète, il me paraît, de la possi- 

 bilité de cette transformation {Atti, t. XXXIII), que M. Picard a eu l'obli- 

 geance de signaler dans le Bulletin de M. Darboux (1898, p. 27). Cepen- 

 dant, dans plusieurs travaux parus depuis lors on a laissé entrevoir quelque 

 défiance sur ma démonstration, sans toutefois élever contre elle des doutes 

 explicites. Tout récemment encore M. Poincaré, dans une Communication 

 du 9 décembre dernier, ayant dû s'appuyer sur ce théorème, a cité la 

 démonstration de M. Picard, que M. Picard lui-même a déclarée n'être 

 pas applicable à tous les cas. C'est pourquoi je demande la permission de 

 résumer ici ma démonstration dans ses lignes principales. 



» Toutes les transformations seront crémoniennes. Je rappelle que le 

 mode de transformation du voisinage d'un point dépend seulement des 



