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qu'après un nombre limité d'opérations on parvient à une ligne transfor- 

 mée de multiplicité moindre, mais qui pourra bien contenir encore des 

 points 5-ples isolés. Je démontre cette proposition pour une suite conve- 

 nable de certaines transformations monoïdales spéciales. 



» Si, après une succession de lignes 5-ples, on obtient, comme on vient 

 de le dire, des points 5-ples isolés, on pourra en fixer un et opérer sur 

 celui-ci comme j'ai dit précédemment pour les points *-ples isolés. En 

 procédant ainsi, on définit une succession de points et de lignes 5-ples. 

 Conformément au fait que la transformation d'un point isolé ou d'une 

 ligne peut produire plusieurs points *-ples, un même point ou une même 

 ligne peut être l'origine de plusieurs de ces successions. Il faut montrer 

 que ces successions sont limitées et en nombre limité. 



)) Dans une succession j'appelle point A''' le premier point de tout 

 groupe de points \-ples isolés successifs dont elle se compose, et ligne L'''* 

 la ligne transformée de la ligne 5-|jle qui le précède, et sur laquelle il se 

 trouve. 



» J'ai montré (Note citée, n° 9) qu'un point A''^' étant fixé, on peut 

 toujours déterminer dans l'espace de départ deux surfaces d'un ordre 

 limité (je choisis deux polaires de la surface donnée) auxquelles la succes- 

 sion des transformations qui conduit à A'^' fait correspondre deux surfaces 

 passant par A''' de manière que leur intersection passe aussi par A''' avec 

 une partie qui ne coïncide pas avec L'^'. Deux cas peuvent se présenter : 

 ou bien cette ligne est une transformée d'un point ou d'une ligne de la 

 succession, ou bien cela n'est pas le cas, quelque avancé qu'on prenne A'^' 

 dans la succession considérée. Dans le second cas, je parviens à construire 

 une courbe, dans l'espace primitif, que la succession de transformations 

 qui conduit à A*'' transforme en une courbe par A''', et dont l'ordre reste 

 inférieur à une limite fixe, indépendante du rang de A''' dans la succes- 

 sion. Cela établit une limite supérieure pour le rang de A'''' et par suite 

 pour le nombre des points et des lignes de la succession. 



M Le premier cas demande une analyse d'une autre nature. Quand il se 

 vérifie pour un certain A''', il en est de même pour tous les A'^' suivants. Je 

 montre que, dans la succession considérée de points et de lignes ^-ples, 

 les groupes de lignes j-ples successives en contiennent un nombre qui va 

 décroissant jusqu'à se réduire à i ou à 2, et qu'enfin aussi les groupes 

 d'une et de deux lignes ne peuvent se présenter indéfiniment. Après un 

 procédé limité, on ne rencontre donc plus dans la succession que des points 

 i-ples isolés, et elle est donc limitée. Il s'ensuit très aisément que le nombre 



