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ii/ie fonction entière d'ordre apparent Ji ni ^, et 



» On peut toujours trouver r, 'îz i assez petit pour que, des que l dépasse 



_i 



une certaine limite, à toute racine de f/(z) de module inférieur à /P"^^ cor- 

 respojide une racine de f{z) comprise dans la même cii conférence de 

 rayon yi. 



» Ces résultats s'étendent aux fonctions F(") ayant un point singulier 



essentiel de la forme ¥{z) + oi-_\-, f{z) et <!^(z) étant des fonctions 

 entières de genre fini. F(z) peut d'ailleurs se mettre sous la forme 

 y, (s)'^, ( M' /, (z) et ©,(i) étant des fonctions enlicrcs de même ordre 

 que /et <p respectivement. On en conclut le ihéorème de M. Picard géné- 

 ralisé pour les équalions/(::) 4- ©(- j = ?( = ), où P est un polynôme, et 



même des extensions de théorèmes de M. Borel. 



» II. Considérons les formules de récurrence de Newton 



AoS-, + A, = o, 

 Ao^^o + Afi', + 2 Ao — o, 



A„ .9„, + A I .v„,_, + . . . -h w A,„ = o, 



qui donnent la somme des puissances semblables des inverses des racines 

 de l'équation 



A „ + A , a; + . . . -f- A^.r* = o. 



» 1° Les mêmes formules donnent pour une fonction entière d'ordre ^' fini 

 les sommes des inverses des puissances entières ^ p'. 



» On en conclut diverses applications dont la démonstration est simple; 

 nous signalerons pour le moment les suivantes : 



» 2° Si f(x) est une fonction entière donnée d'ordre apparent m, v te 

 plus grand entier <^ //?, l'équation f(x) — a a toujours une racine finie, sauf 

 peut être pour au plus c valeurs de a. 



» C'est une partie d'un théorème connu de M. Picard. 



)) 3" Pour que toutes les racines de l'équation f{x) = o soient réelles, 

 il faut .vl,,, > dès que 2m >p'. Pour qu'elles soient positives, il faut 

 A„, > o dès que w/> p' ; l' équation n'a alo/s que des variations si f(z) 



