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OÙ '\i(z), i'oi'^-)' • • •' '\'k{^) sont des fonctions entières. On peut le dé- 

 montrer par un procédé analogue à celui qui sert à établir la série de 

 Laurent. 



» A cause des analogies de ces fonctions avec les fonctions entières, 

 nous les appellerons des /onctions quasi-entières . 



)) Si, en j)articulier, A (s), ift){z), . . . , J'^(^) sont des fonctions entières 

 de genres finis et d'ordres apparents p, o,j, . . . , p^^, on dira que les ordres 

 apparents de F(5) sont p, po, . . . , p^. 



» Nous ne considérons dans ce qui suit que le cas où les points cri- 

 tiques sont essentiels. 



» I. F (z ) peut se mettre sous la forme 



F(,-) = nn„...n,e*, 



n, n„, . . . , n^ étant des produits infinis de j acteurs primaires relatifs aux 

 points critiques oo, a^,, . . . , n^^, et <I> une fonction quasi-entière, ou encore 



F(:;) = cj(z) cj J — ^ ) . . . njJ ^ 



cj(^), cTo(-), . . . , rô^i^z) étant des fonctions entières. Si F(z) est d'ordres 

 apparents finis p, p„, . . ., p^., ces fonctions entières sont d'ordres apparents 

 finis p, Po, . . . . p/( respectivement . 



» II. Quand F(s) est d'ordres apparents finis, parmi toutes les fonctions 



où 9(5) et cp, (^) sont d'ordres apparents tous plus petits que ceux de F(^), il 

 y en a au plus une d'ordre réel inférieur à la fois à p, p„, ..., ç^, les fonc- 

 tions F, (s) qui ne différent que par un facteur constant n'étant pas consi- 

 dérées comme distinctes. 



» Parmi les équations F (s) — ' ' ^' ■ = o il y en a une au plus d'ordres 



réels, tous inférieurs à ceux deFi^z). 



)) III. Quand F(^) est d'ordres apparents finis, la condition nécessaire et 

 suffisante pour que F (s) soit à croissance régulière (') aux environs de ses 

 points critiques et de co est, en général, que la distribution de ses zéros y soit 

 régulière, c'est-à-dire que les fonctions cj(s), u^(z), . . ., nï^.(s), ou, ce qui 



(') D'après la définition de M. Borel. Celte propriété ne peut comporter d'excep- 

 tions que quand certains des ordres apparents sont entiers. 



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