SÉANCE DU 17 FÉVRIER 1902. 4^1 



multiplions l'un des rayons par k et l'autre l>;ti'T.- ^'^ nouveau point de 



contact m' des deux cercles et la nouvelle tangente commune d' définissent 

 un élément {m' , d') correspondant à {m, d). 



» On peut montrer que la correspondance entre d et d' équivaut à la 

 transformation de Laguerre. D'autre part, la transformation de contact 

 (U«U"') est caractérisée par l'équation 



2 



mp . m' p' = k . mTn' , 



ou, si l'on veut, 



{\x -+- Bj+ c) (Ax'+ By + c) = (x- x'Y + (y-yy. 



M Si l'on annule successivement deux des trois coefficients, on obtient 

 trois groupes à un paramètre qui, dans la théorie de Lie, correspondent 

 aux fonctions caractéristi(jues 



w = \/i + y-, w, = a;\/i+y-, w, =:_vv'l^-y^ 



)) Si A et B sont nuls, les transformations sont des dilatations. 



» 4. Il est évident aussi que les transformations VvY~' laissent invariant 

 l'ensemble des cercles du plan. Soient A le centre du cercle déjà défini 

 (O, m, d) et A, le point de OA tel que 



I I I 



» Par le point également défini T, menons la tangente Tm' au cercle 

 ayant pour centre A, et pour rayon OA,. L'élément {m', m'T) est l'élé- 

 ment correspondant à l'élément (^Tn,niT). L'équation caractéristique est 



Om. Om' = k.mm'. 



Elle montre, en particulier, qu'à un cercle donné on peut faire corres- 

 pondre un cercle de rayon nul, qui ici est toujours réel. 



» Si, aux points m et m', on applique une inversion de module égal à 

 l'unité, les points transformés p, p' sont liés par la relation 



PP 



k. 



» La transformation Y^M"' peut donc aussi se mettre sous la forme 

 STS~', où S désigne l'inversion et T une dilatation. Le groupe défini par 



