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SÉANCE DU 2/i FÉVRIER [()02. /,.Tr 



plies, la différence :"— 6:;-cst une fonction holomorphe de x qui, sur 

 une infinité de cercles (croissant indéfininienl), est moi'ndre en module 

 que i\ .r^ | ; on en conclut aussitôt que c'est une fonction linéaire de .t. 



» Autrement dit, toute fonction z (^x) représentée par une série (6), où 

 les a„ satisfont à la restriction 



(8) \a„ — «, I > r (A quantité positive arbitrairement choisie) 



\c'nV 



et aux égalités 



(9) ^+Z[(a,_«„r ~ ^J '"^' 2à{ai-anY 



i i 



(j = I, 2, .. .,Qo; n = I, 2. . ..,00; i :^ n), 

 vérifie une équation différentielle de la forme 



(10) r"= 6:;-+ aa7+ (3 (ex, p constantes numériques). 



» Inversement, toute solution ^(ï) de l'équation (10) est représentable 

 par une série de l'espèce (6) où les a„ satisfont à la restriction (8) et 

 aux conditions (9). Il suit de là que ces égalités (9), égalités en nombre 

 infini portant sur une infinité d'inconnues a„, admettent comme solutions 

 une infinité de systèmes a,, a.,, ..., a„, ... dépendant de quatre constantes 

 arbitraires [du moment que les a„ satisfont à la restriction (8)]. D'une façon 

 plus précise encore, toutes les solutions du système infini (9) sont de la 

 forme 



«. = >^?i(r,S) + ;7.A,(Y,^), ..'., fl'„ = X9„(Y,S)-f-[j.'l/„(Y,S\ ..., 



X, [j., y, S désignant des constantes arbitraires, et les rp, (|( des fonctions ana- 

 lytiques de y. ^• 



» L'intégration de l'équation (10) sous la forme (6) équivaut en somme 

 à la résolution du système infini de relations (9), problème dont on aper- 

 çoit immédiatemeirt l'analogie avec le problème, plus simple et si impor- 

 tant, de la résolution d'une infinité d'équations linéaires à une infinité 

 d'inconnues ('). Il y a là un mode de recherches très intéressant et très 



(') On connaît les beaux travaux de M. Poincaré sur les déterminants infinis et les 

 recherches ultérieures si remarquables de M. von Iv^och. Dans un problème d'interpo- 

 lation, Stieltjes a rencontré aussi un système infini d'équations à une infinité d'incon- 



