46o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



e(x,y, z, p,q) el e' (a-', y', z', p' , q') de l'espace. Quelles que soient les 

 fonctions X, Y, P, Q, pourvu que le déterminant fonctionnel 



D(X.Y, P, Q) 



ne soit pas nul identiquement, les formules (i) définissent une transfor- 

 mation de Backlund permettant de ramener l'une à l'autre deux équations 

 aux dérivées partielles du second ordre. En écrivant, par exemple, que 

 p' dx' -\- q dy' est une différentielle exacte, on est conduit à une équation 

 du second ordre linéaire en r-, s, t, ri — s^, et ne renfermant pas :;. Mais, 

 quoique la transformation (i) dépende de quatre fonctions arbitraires de 

 oc, y, p, q, toute équation de Monge-Ampère ne renfermant pas l'in- 

 connue z ne peut pas être obtenue de cette façon, contrairement à ce qui 

 paraissait a priori assez vraisemblable ('). En cherchant comment on peut 

 caractériser les équations qui jouissent de cette propriété, j'ai été conduit 

 à quelques résultats relativement simples, que j'indiquerai rapidement. 

 » Posons 



(2) . P dK + Q r/Y = F, dx -+- F, dy -+- F, dp ^F,dq; 



la condition d'intégrabilité de p'dx' -\- q' dy' s'écrit, en n'effectuant aucune 

 réduction sur les coefficients, 



(3) %q{rl — S-) -i- Rj.^,/- -1- Rr/ + S.« + R,.j = o, 



les coefficients R^^^, R^.^,, R,.y, S, R^^ avant les valeurs suivantes : 



'"z ~ dq dp ' "' dy dp ' 



^"^^ ' \ ^-"i^ dq dx' ^^^~ dy dx' 



dy dq dp dx 



» 2. Etant (ioniiée une équation de la forme (3), dont les coefficients 

 sont indépendants de z, pour qu'elle provienne d'une transformation de 

 Backlund de la forme (<), sans aucune réduction sur les coefficients, les 

 équations (4) doivent être compatibles, quand on y regarde F,, F^, F3, F< 



(') La remarque s'étend aux transformations de Backlund les plus générales, ainsi 

 que l'a montré M. J. Clairin, dans une Thèse récente. 



