SÉANCE DU 0,4 FÉVRIER 1902. 46 1 



comme inconnues. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que les coeffi- 

 cients R.r,, B-pg, R;/,. Rxy» S vérifient les cinq relations suivantes : 



(>) 



dx d'i 



4- 



dy 



dx^- 



dq dy dq- 



djc dp 



» Ces conditions étant supposées vérifiées, les équations (4) admettent 

 une infinité de systèmes de solutions que l'on obtiendra par des quadra- 

 tures. Si/,, f^.fiyf^ forment un premier système de solutions, la solution 

 la plus générale sera donnée par les formules 









A étant une constante arbitraire et 

 suite de ramener la forme dePfaff 



une fonction arbitraire. Il suffira en- 



(6) 



/, dx -+•/, dy -I-/1 dp +/, dq -\- K{p dx -{- q dj) -\~ d'!f 



à une forme réduite Pf/X-f-Qû?Y pour obtenir une transformation de 

 Bâcklund de la forme (i) conduisantà l'équation proposée (3). Toutes ces 

 transformations ne sont pas essentiellement distinctes: celles que l'on 

 obtient en faisant varier la fonction (p seulement s'obtiennent en combi- 

 nant l'une d'entre elles avec des transformations de contact. On peut donc 

 supposer <p = o, mais, en faisant varier la constante A, on obtient des 

 transformations distinctes. Si donc on connaît une première transforma- 

 tion de Bâcklund conduisant à l'équation (3), on en déduira une infinité 

 d'autres en considérant la forme de Pfaff 



P rfX + Q dY + Mpdx + q dy), 



où A est une constante arbitraire. 



» 3. Pour qu'une équation (3 ) provienne d'une des transformations 

 considérées, il suffit que les cinq équations obtenues, en remplaçant R^^ 

 par >-R/,^, R^j par IR^^r» • ••» dans les formules (5), admettent une solution 



