SÉANCE DU 3 MARS 1902. ^tig 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions entières de genre infini 

 et les transcendantes mèromorphes découvertes par M. Painlevé. Note 

 (le M. PiERKE BouTRoux, présentée par M. Painlevé. 



« L'étude des fonctions entières de genre infini a été jusqu'ici surtout 

 théorique; n'ayant en vue aucune apjilication prochaine, on s'efforçait 

 d'embrasser d'un seul coup les types de fonctions les plus généraux. Mais 

 le moment est venu de considérer à part les types les plus simples et de 

 les étudier plus en détail : les travaux de M. Painlevé sur les équations 

 différentielles à points critiques fixes viennent en effet d'introduire pour 

 la première fois, dans l'analyse, des classes de fonctions de genre, infini, 

 entièrement irréductibles aux fonctions connues, qu'il faut se mettre en 

 mesure d'étudier directement. 



» Soit 



G(.) = n(i_i 



- ]e 



un produit de genre infini. On doit choisir les nombres p; de manière que 

 le produit G(z) ne croisse pas plus vite que ne l'y oblige la distribution de 

 ses zéros ('), et il est naturel de supposer que ce choix devra être diffé- 

 rent suivant que la densité des zéros sera plus ou moins grande. Pour 



assurer la convergence de la série 7 



prendre 



logj 



, il suffirait évidemment de 



p,.= (l4-oc) 



og|«/| 



IX étant un nombre positif; mais il se trouve qu'il y a avantage à donner 

 à p,- une valeur plus élevée (on sait qu'au contraire, lorsque la fonction est 

 de genre fini, il convient de donner à p, la plus petite valeur possible). 



entières de genre infini ou aux fonctions quasi mèromorphes (quotient de deux fonc- 

 tions quasi entières). Ainsi parmi les fonctions y+ o, où _/ et (p sont quasi mèro- 

 morphes d'ordres finis, 'j ayant ses ordres tous inférieurs aux ordres correspondants 

 de/, il y en a une au plus dont les ordres réels sont tous inférieurs à la fois à tous 

 ceux de /. 



(') M. Borel a, le premier, fait remarquer combien il importe, pour cette raison, 

 de ne pas donner à p,- une valeur trop élevée (comme il arrivait, par exemple, lorsque 

 l'on faisait, avec Weierstrass, p,=:/). 



