SÉANCE DU 3 MARS 1902. 321 



» La inélhode que j'ai suivie pour étudier les deux premiers types 

 d'équations à intégrales méromorphes signalées par M. Painlevé m'a 

 permis également d'étudier les équations du troisième type 



(3) y'= ^Ve=(ocv^+p) + c-(yy'+ A), 



oij l'on a y = — 1 , S = I, a, p quelconques, ou y = — i, }) — o, (i =. i , 

 ot quelconque, ou y = § = o, a = — i , f5 := i . 



» J'ai reconnu que les intégrales de l'équation (3) sont de type expo- 

 nentiel sinij:)Ie, et j'ai pu déterminer leur mode de croissance. 



» M. Painlevé a démontré que la transcendante y s'exprime par le 



quotient - de deux fonctions entières vérifiant les équations simultanées 



ce- / e'r 



S-' + p). 



)) Au lieu do y, j'ai considéré la fonction méromorphe 'C =^ ye' qui 

 satisfait à l'équation • 



(4) ce = 'Ç -• + a'e ^- y'Ç -f- ?>W h Se'= ; 



on a 



T 





» Ij'avantage de l'équation (4) est qu'elle met en évidence la façon dont 

 se comporte la fonction ^ au voisinage de l'un de ses pôles. Son étude m'a 

 conduit aux résultat'^ suivants : 



» Désignons par M(r) le module maximum de u pour l^j — /', par s un 

 nombre positif arbitrairement petit, par 9(^) une fonction cie /• croissant 

 arbitrairement lentement (ce sera, par exemple, logr ou log log/-) : 



» 1° Si y ^ o, S =^ o, a = — I, p = I , on a, à partir d'une certaine 

 valeur de r, 



» 2" Si y ^ — I, ^ I, a et ji étant quelconques, on a, à partir d'une 

 certaine valeur de ;■. 



