SÉANCE DU lO MARS 1902. 58! 



Usées : 



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(O { àt <^x •'■ ' ày ' dz ~ ô.r dy d 



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on démontre sans- peine le théorème suivant : Supposons qu'à l'instant /„ 

 et pour tous les points intérieurs au volume E les quantités to^, oiy, co. soient 

 nulles, cas auquel il en est de même de leurs dérivées de tous ordres par 



rapport a x, y. z; les quantités -j^^ "ôlf' ~dî^ ^° nulles a l instant t„ et 

 dans l'espace E, quel que soit n. 



» En effet, selon les égalités (i), ce théorème est vrai pour « = [ ; en 

 difîférentiant ces égalités yo fois, on prouve que, s'il est vrai pour « = d, il 

 l'est encore pour n ^ p -{- 1. 



M En second lieu, les formules 



[ dui-c doi^. dtDx doi^ d(.)r 



( 2 ) < rt< dt dr dy dz 



permettent d'établir, par une méthode analogue à la précédente, la pro- 

 position que voici : 



„ , • d"W:c d"0iy rf«to. , . /■•,.,. 



)) Quel que soit n, -^■> -j^ir' "^ * expriment en fonctions linéaires et 



homogènes des dérivées partielles d'ordre n de o)j., to^, w. par rapport à 

 X, y, z, t. 



» De ces deux propositions, qui s'établissent d'une manière entière- 

 ment élémentaire, on tire sans aucune peine le théorème énoncé par 

 M. Hadamard. 



» Mais nous avons montré (') qu'aucune onde ne pouvait exister au sein 

 d'un liquide visqueux, incompressible, de température uniforme et con- 

 stante. Le théorème de Lagrange s'applique donc à tous les points d'un tel 

 liquide, sauf à ceux qui, à un instant donné, auraient joué le rôle de point 

 singulier ou se seraient trouvés sur une ligne sirrguliére. « 



(') Comptes rendus, t. CXXXIII, 1901, p. 679. 



