SÉANCE DU lO MARS 190'i. 585 



58 jours d'observation de ce trimestre, il y en a eu 48 sans taches (le nombre 

 obtenu précédemment était de 49 sur ^3 jours); il en résulte un nombre 

 proportionnel de o,83 au lieu de 0,67. 



» C'est, jusque-là, le minimum des résultats trimestriels que nous ayons 

 enregistrés. Il semblerait que le minimum undécennal des taches s'est pré- 

 senté vers le milieu du mois de septembre, mais il y a lieu d'attendre 

 encore pour fixer celte époque d'une manière plus certaine. 



» Régions d'activité. — Les facules ont fourni des nombres un peu plus 

 faibles dans ce trimestre que dans le précédent : on a noté 5o groupes et 

 une surface totale de 12,0 millièmes, au lieu de 39 groupes et i5,6 mil- 

 lièmes. 



» Leur répartition de part et d'autre de l'équateur est de i3 groupes au 

 sud au lieu de 39, et de 37 au nord au lieu de 20. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Un théorème sur les séries trigonométriques. 

 Note de M. H. Lebesgue, présentée par M. Picard. 



« M. Cantor a démontré qu'une fonction ^(9) ne pouvait admettre 

 deux développements de la forme 



(i) y"((p) = a^ -h 2(a„cos«(p + è„sin/2cp). 



On peut alors se demander quels sont, toutes les fois qu'il existe un tel 

 développement, ses coefficients. Lorsque /(cp) satisfait aux conditions de 

 Dirichlet, on sait que les coefficients sont déterminés par les intégrales 

 d'Euler et Fourier; toutes les fois que la série (i) sera intégrable, terme à 

 terme, il en sera de même. MM. Dini, Ascoli, P. du Bois-Reymond ont 

 étudié l'iutégrabilité de cette série; la conclusion de leurs Travaux est 

 que, si /((p) est bornée et intégrable, les coefficients du développement 

 sont les intégrales de Fourier. 



)) Je me propose de montrer que des raisonnements analogues à ceux 

 des auteurs cités permettent d'étudier le cas le plus général où /(tp) est 

 bornée quand on adopte la définition de l'intégrale que j'ai indiquée dans 

 une Note des Comptes rendus (29 avril 1901). 



» On sait que si F(tp) est la série obtenue en intégrant deux fois, terme 

 à terme, le second membre de (i), on a 



(2) li^^ /-^(T + a) + F(,-a)-.F(,) ^ li^_ qii) ^y^,^). 



G. R., 1902, 1" Semestre. (T. CXXXIV, N° 10.) 77 



