586 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Il est facile de montrer que -^ ei /((f) sont bornées en même 



temps. Maintenant, si l'on remarque que la fonction/(fp), étant la limite de 

 fonctions continues, aune intégrale, au sens généralisé du mot, pour pou- 

 voir intégrer les deux membres de ( 2), il suffira de se servir d'un théorème 

 démontré par M. Osgood dans le cas particulier des fonctions continues, et 

 qui est tout à fait général : Si les fonctions sommables y"„(çp) ont une 

 limite /(«p) et si, quels que soient n etç, 1/(9) —/n{'?)\ '"este inférieur à M, 

 l'intégrale de /est la limite des intégrales des fonctions /» quand n aug- 

 mente indéfiniment. En intégrant deux fois l'égalité (2), on trouve 



F(9)= r dof/(t)dt-hA<f-hh, 



où A et B sont des constantes. Le procédé de Fourier donne les coefficients 

 du développement de F((p) -(f-, ce qui donne des égalités telles que 



a„ art 



^ + - r^cosna.doL fd^ f f{t)dt. 



» Pour transformer ces expressions, je généralise la notion d'intégrale 

 multiple comme celle d'intégrale simple et je démontre que, dans des cas 

 étendus, le calcul d'une intégrale multiple équivaut à des calculs d'inté- 

 grales simples. Gela permet d'écrire 



a„=2lao— ^^ f{l)dt.\+'-j'^ /(t)cosntdt; 



et il suffit de se rappeler que a„ tend vers zéro et de démontrer qu'il en est 

 de même des intégrales de Fourier pour conclure que : 



» Si une fonction donnée admet un développement trigonométrique, c'est la 

 série de Fourier. 



» J'étais d'abord parvenu à ce résultat par une méthode peut-être moins 

 naturelle, mais plus rapide. 



» Pour r<^i, les coefficients du développement de la fonction 



/((p, /•) = «o-t- 2A"(a„cos/i(p + Z>„sin/îcp) 



s'obtiennent par le procédé d'Euler et de Fourier; du théorème sur l'inté- 

 gration énoncé précédemment, on déduit qu'il en est de même pour /" = i, 



