SÉANCE DU lO MARS I902. 58 7 



si /((p, r) est bornée. Or de la proposition relative à ^—résulte que : 



si la partie réelle d'une série de Taylor est convergente sur le cercle de 

 convergence et a une somme inférieure à M, elle a aussi une somme 

 inférieure à M à l'intérieur du cercle; la proposition est donc démontrée. 



» On peut étendre un peu ce résultat en supposant que/((p) n'est pas 

 définie pour toutes les valeurs de ç. Le résultat précédent subsiste si les 

 valeurs où /(ç) n'est pas définie forment un ensemble fermé de mesure 

 nulle. Cette remarque était nécessaire pour que le théorème de M. Cantor 

 soit compris comme cas particulier dans le précédent. 



)) On peut aussi supposer que la fonction /^(cp) devient infinie dans le 

 voisinage d'un nombre fini de points en chacun desquels les conditions de 

 Riemann sont remplies. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries de factorielles. 

 Note de M. J.-C. Klutveu, présentée par M. Picard, 



« Tout récemment, M. Niels Nielsen a donné dans les Comptes rendus 

 un exposé de ses recherches sur les séries de factorielles. Je désirerais faire 

 connaître à l'Académie que, de mon côté, j'ai obtenu quelques résultats 

 propres à mettre en lumière les conditions nécessaires et suffisantes qui 

 doivent être remplies par une fonction (p(s) pour rendre possible un tel 

 développement. 



» Dans mon Article : Over de ontwikkeling von eenefunctie in eene facul- 

 teitenrechs (Sur le développement d'une fonction en une série de factorielles) 

 (Nieuw Archief voor Wiskunde, 2* série, t. IV; Amsterdam, igoo), je consi- 

 dère le développement 



m(z) = y '^^ 



TV ^ Xd^(c+l)(5+2)...(3 + /0 



et je suppose que son champ de convergence absolue est le demi-plan à 

 droite de l'axe des nombres imaginaires, c'est-à-dire je suppose que 

 l'on ait 



^""' = f, Limnji - 



Lim 



)>„ 



= I. 



» Dans ces conditions, il est facile de voir que la fonction <p(-) possède 

 les deux propriétés caractéristiques suivantes : 



