588 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» 1° Désignant par t une quantité réelle entre o et i, on trouve 



et la fonction h{t) est holomorphe à l'intérieur du cercle |^| = i; 



)) 1° De la fonction h{t) on peut remonter à la fonction cp(^), puisque 

 l'on a 



f h{t){\-ty-'(h = <^{z). 



» Réciproquement, toute fonction (p(s) possédant simultanément les 

 deux propriétés susdites est capable d'un développement en série de facto- 

 rielles, et cette série sera absolument convergente à droite de l'axe des 

 nombres imaginaires. 



)) Des fonctions existent qui possèdent l'une ou Vautre des deux pro- 

 priétés. Par exemple, en prenant (p(s) = r(z), il s'ensuit une fonction 

 h{t) convenable, puisqu'on a h(t) = e'~', c'est la seconde condition qui 

 n'est pas remplie; en effet, l'intégrale 



f e'-* (i - ty-' dt 



ne reproduit pas r(c), elle représente la fonction P(-) de Prym. D'autre 

 côté, si l'on prend <p(^) = -;-' on trouve une fonction A(/) qui n'est pas 

 holomorphe à l'intérieur du cercle | i | = i, mais l'intégrale 



f h{t)(\ -ty-'dl 



' 



se trouve bien égale à cp(2). Donc, aucune des fonctions 1(3) ou -^ ne 



peut être développée en série de factorielles. 



)) Comme j'ai pu l'établir dans l'Article précité, un tel développement est 



possible pour toute fonction F ( - j, holomorphe pour z — co; par contre. 



il y a des développements qui représentent une fonction entière o(s). 

 Comme exemple, on peut citer la série de factorielles qui représente 

 Q( — :;), la seconde fonction de Prym avec l'argument — z. » 



