63o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



£ désignant une racine cubique imaginaire de l'uniLé. (Une erreur de trans- 

 cription a été laite pour ces polynômes dans la Note citée.) 

 » L'intégrale (2) devient alors 



(3)- .(i-^)ff^<iud.. 



» C'est un exemple d'intégrale double de fonction rationnelle n ayant 

 pas de résidus, mais ayant des périodes. 



» En fait, les cycles à deux dimensions correspondant aux périodes 

 de (3) rencontrent la ligne singulière de l'intégrale à l'infini ou à distance 

 finie en certains points (m, i>) pour lesquels le polynôme D s'annule. Ces 

 points correspondent aux valeurs 



(4) [u = i,i>=i); (n = i, i> = i); (u = i-,y = i-), 



qui annulent à la fois les quatre polynômes A, B, C et D. 



» Ce résultat particulier montre que, pour la formation des périodes 

 des intégrales doubles, il faut, dans certains cas, élargir la notion de cycle 

 à deux dimensions, lorsqu'on veut considérer, non une seule surface, mais 

 une classe de surfaces se correspondant point par point. 



» Les points appe\és fondamentaux et les courbes iVdes exceptionnelles 

 dans la transformation birationnelle des surfaces algébriques jouent néces- 

 sairement ici un rôle important. A un cycle à deux dimensions C d'une 

 première surface S ne rencontrant aucune ligne singulière d'une intégrale 

 double relative à cette surface pourra correspondre dans une transformée S' 

 de S un cycle C rencontrant une ligne singulière de l'intégrale transformée, 

 si le cycle C rencontre une ligne exceptionnelle de S ; car alors C passera 

 par le point fondamental de S' correspondant à cette ligne exceptionnelle. 



)) Il en est ainsi dans l'exemple cité plus haut, où nous avons une cor- 

 respondance birationnelle entre la surface cubique (i) et l'espace (m, i'). 

 Les points (4) sont précisément des points fondamentaux à distance finie 

 dans l'espace («, {>) pour la transformation entre cet espace et la cubique. 



» On sait d'ailleurs qu'il y a, dans la théorie des surfaces algébriques, 

 de nombreux problèmes où la présence de courbes exceptionnelles vient 

 amener des complications; telles sont, en particulier, les questions rela- 

 tives aux systèmes linéaires tracés sur les surfaces. Aussi doit-on attacher 

 une grande importance à un théorème récent de MM. Castelnuovo et 

 Enriques {Annali di Matematica, t. VI tiella série III), d'après lequel, dans 



