SÉANCE DU 17 MARS 1902. 6^1 



liéimédrie à un groupe Q. .4 une substitution s de G correspond une substitu- 

 tion q de Q, mais à la substitution unité de Q correspondent dans G les deux 

 puissances de la substitution qui multiplie par — i toutes les variables. 



I) On sait que tout groupe n — aire P, à coefficients complexes, est iso- 

 morphe à un groupe $ réel et (an) — aire. Pour G, qui est quaternaire, 

 y? serait octonaire. Le théorème consiste en ce que, si G est réguUer, le 

 groupe octonaire $ devient le groupe quinaire Q. L'unitarilc de G se tra- 

 duit sur Q par l'orthogonalité. 



» Théorème II. — Tout groupe © régulier et d'ordre fini, s'il est indécom- 

 posable, est unitaire. 



» Le groupe Q isomorphe à © est aussi d'ordre fini. Q est même indé- 

 composable ; car, si Q est décomposable, 05 l'est aussi. Tous les groupes © 

 décomposables ont été construits dans ma Note du 11 mars 1901. 



» La construction des © indécomposables se réduit à celle des groupes Q 

 indécomposables et d'ordre fini. Ce sera l'objet d'une Communication 

 ultérieure. 



» Au cours des présentes recherches, j'ai eu à résoudre le problème 

 suivant qui présente peut-être quelque intérêt : 



» A quelles conditions nécessaires et suffisantes doit satisfaire un groupe 

 n — aire r' , entre les n variables y, pour pouvoir, au moyen d'une transfor- 

 mation linéaire convenable T, y — T[a7], devenir un groupe r,. réel et ortho- 

 gonal ? 



» Voici ces conditions : 



» i" T'y possède deux invariants absolus, un hermitien H {y, y) et un inva- 

 riant quadratique 



^ =^^''jkyjyk, rji, = r^y, j,k = i,i n, 



tous deux à déterminant un. 



» 2*» Si r',. est mis sous la forme unitaire H^T'H " par la transforma- 

 _i 

 lion j = H - [3] {comme il est expliqué aw n° 31 de mon Travail Sur l'Her- 



niitien, inséré aux Rendiconti du Cercle mathématique de Palerme, pour 



1902), dans l'invariant quadratique transformé 



jk 



la matrice des coefficients Uj^ est unitaire. 



