SÉANCE DU 17 MARS 1902. 6/(3 



niment peli(s avec l'une des variables (la variable ç dans la suite) et 

 s'annuler avec elle (' ). 



» J'ai cherché à déterminer sous quelles conditions le voisinage du 

 point a; == X, y = [3, :; = y peut se repré^ienter par des développements de 

 la forme 



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y\ b 



(i) .. = .„(E) + e.(E)V'+e,a)r, 



ou 



et où a et b sont des entiers, y„, e„, <?,, . . ., des séries de puissances entières 

 de Ç, dont quelques-unes peuvent être identiquement nulles. 



» La courbe :; = e^(^), y ^ j(,(E) est évidemment une ligne de la fonc- 

 tion. J'appelle courbe de diramation de la fonction s l'ensemble des points 

 de diramation des fonctions de la seule variable y cpi'on obtient en faisant 

 dans z : a; = fonct. linéaire de j (en particulier a^^const.). J'appelle 

 courbe polaire l'ensemble des points d'infini de la fonction z. 



» Je suppose, pour simplifier, que a, [l, y ne soient pas infinis. Le point 

 (a, p, y) étant supposé l'origine de la branche j = y„(ç), z = s„(E) = <»„(;), 

 on peut construire un développement de la forme (i), représentant la 

 fonction s au voisinage des points généraux de cette branche, par un pro- 

 cédé tel que l'a indiqué Halphen, en appliquant, par exemple, la méthode 

 de Newton aux fonctions que l'on obtient en posant dans:; : a; = const. 

 (cette constante élant suffisamment voisine de a), et précisément à leurs 

 branches avant l'origine sur la branche (joj-o) donnée. On aura b ^ i ou 

 b > I selon que (y,,, z^) n'appartient pas ou appartient à la courbe de dira- 

 mation. 



» Les coefficients e„(E), e,(^), ... sont des branches de fonctions algé- 

 briques dont les points critiques sont tous compris parmi les points d'inter- 

 section (-) de la courbe (^o'^o) 3vec la courbe de diramation ou, si la 

 branche (Vo'~o) appartient elle-même à cette courbe, parmi ses points 

 critiques et multiples, et dont les pôles appartiennent à la courbe polaire. 

 Ils sont donc des développements convergents dans un cercle de centrée = o 



(•) Même si les séries ne commencent pas par des puissances négatives des variables, 

 cas pour lequel M. Hensel admet des restrictions {Jaliresb.) 



(-) Il y aurait quelques remarques à faire sur ce qu'on doit entendre par points 

 d'intersection au point de vue de la théorie des fonctions, mais je ne puis insister ici. 



