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CORRESPONDANCE . 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un théorème de M. Frobenius. 

 Note de M. de Séguier, présentée par M. C. Jordan. 



« M. Frobenius a démontré récemment au moyen de la théorie des ca- 

 ractères cet important théorème : Si un g,,i, (*) (a élant premier à b) G a 

 un g^k dont deux éléments ne soient jamais conjugués dans G sans coïncider, 

 G a un ghjormé de ses e^. En voici une démonstration très simple : 



» Lemme. — Si un g^i, (a premier à b) G a exactement a éléments e^, tels 

 que a.^, a.^, ... et b éléments e^,, tels que p,, pj, ..., il est le produit direct 

 d'un g„ et d'un gi,. En effet, d'après un théorème de M. Frobenius, on 

 a a,Pyt = p^ot,. Soient j a,, ao, . . . j = A, j p,, [3o, . . . { = B; supposons d'abord 

 que A soit un g^. On ne pourra avoir p, jî^ = «,, d'où p, = a, p^', car on en 

 tire, en élevant à la puissance b, i = a, b. On ne pourra avoir p, Po =; «, P3, 

 d'où p, P2P~' = a,; car, si P2Pâ' = P*» ^^ ^ '^ même impossibilité; si 

 P2P3' = ^2' O'i a Pi = a. «^2'» Pr= I ; si PoP;' = P^o-o, on a Po = a,<'P7', 

 d'où 1 = (aja^')*. Donc tout p^p^ est un p et B un gi,. Supposons mainte- 

 nant que A soit un g^t' et B un gi,^'. Les p,- de A, étant des produits de a, sont 

 permutables entre eux et forment dans A un g,,' abélien normal B'^B; 

 de même les a,- de B y forment un g^' abélien normal A'^A; soit B = 2A'p. 

 Chaque A'P contient un seul e^ tel que p et les e^ forment un g^', d'après un 

 autre théorème de M. Frobenius. Donc les p, de B forment un gi, qui est B. 

 Donc A'=i = B'. (En général, si un g^ tel que A divise normalement 

 un gah tel que G ^ 2 Ap et si chaque Ap contient un seul e^ tel que p, A en 

 particulier ne contient aucun e,, autre que i. Donc a est premier à è. A est 

 formé des e^, les Cj, en nombre b forment un gi, tel que B, et G est le pro- 

 duit direct de A par B.) 



M Soit alors a ^p^q^ ... la décomposition de a en facteurs premiers. Le 

 théorème est évident pour a = i, quel que soit b. Supposons-le vrai, 

 quel que soit b pour les valeurs de a plus petites que celle considérée. A étant 

 abélien d'après l'hypothèse, contient un gap-'>' et l'on pourra admettre 



(') J'écrirai ^,„ pour groupe d'ordre m, g"- pour groupe de degré n, ^", pour 

 groupe d'ordre m et de degré n, e^ pour élément dont Vordre divise k, et je dirai 

 qu'un groupe G a un groupe A si A divise G. 



