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dont les coefficients /?, et ^^ sont des fonctions uniformes de la variable 

 indépendante z, soient commutatives, c'est-à-dire pour que l'on ait 



» Il y a trois cas à distinguer : 



» Premier cas. — P„ et Q,„ sont toutes deux irréductibles dans le sens de 

 Frobeniiis (voir Floquet, loc. cit.) : dans ce cas, il faut et il suffit qu'on 

 ait m ^ n el que les coefficients p^ et q^ ne diffèrent que d'une constante, 

 les autres coefficients étant égaux. 



» Deuxième cas. — P„ est irréductible : alors ni doit être un multiple 

 de n(=Â:n), et Q,„ se décompose en k facteurs d'ordre n commutatifs entre 

 eux et avec P„ (voir le premier cas). Comme une expression F, du pre- 

 mier ordre doit être regardée comme irréductible, chaque expression Q,„, 

 conimutative avec F,, se décompose en m facteurs du premier ordre, 

 commutatifs entre eux et avec P,; elle peut être transformée dans une 

 expression dont les coefficients, sauf un facteur commun exponentiel, sont 

 constants (voir Floqtjet, loc. cit.). 



» Troisième cas. — Ni P„ ni Q,„ ne sont supposées irréductibles : ce cas 

 ne peut être traité dans toute sa généralité, mais pour chaque valeur de m 

 et /i on a à résoudre un problème spécial. Cependant il est à remarquer 

 que les deux problèmes pour F„, Q/,„ et pour P„, Qa„_, ne diffèrent pas 

 essentiellement, quand on suppose /?o = ^o = !• J'^i déjà traité les pro- 

 blèmes Po, Q2; P2, Q3; P2. Q/.; P2' Qs! Pa» Qa» 6t je vais communiquer ici 

 les résultats : 



» I. Soient 



P2 =7"-H/'.j' + /'27. 



et 



P,Q, = Q,P,. 



» a. />| = 5^,, yOa ^ 5'2 + const. (voir le premier cas). 



» b. Les expressions P2 et Qo se décomposent en deux facteurs sym- 

 boliques du premier ordre, tous commutatifs entre eux; elles peuvent être 

 transformées par la même transformation (normale) dans des expressions 

 linéaires ayant des coefficients constants, sauf un facteur commun expo- 

 nentiel. 



» II. Soient P2 et P3 deux expressions linéaires homogènes du second 

 et du troisième ordre avec des coefficients uniformes, les coefficients de y" 



