SÉANCE DU I*'' AVRIL 1902. 7/il 



les valeurs de ^, et aux points < = ^, où a est un entier > 2 et ît prend lus 

 valeurs dr i, ± 2, zt 3, . . ., /? les valeurs i, 2,'3, . . ., nous avons 



|f"^'(/)i ~e"""'. 



» Nous définissons l'intégrale en question t.<i{u,v) par les conditions 

 qu'elle doit se réduire pour a = o à J/(t') el pour f = o à zéro. La méthode 

 de M. Picard fait voir qu'elle existe et qu'elle est continue ainsi que toutes 

 les dérivées en tous les points du plan ('). 



» Pour montrer qu'elle n'est pas analytique, il suffit évidemment d'éta- 

 blir que, pour les valeurs de v de la forme — y{ '^~ ' ~ ' ■' ji o)(m„, c) ne 



peut pas être développée en une série procédant suivant les puissances 

 entières de s 



2X1T 



V — — -j 



af 



quelle que soit la valeur fixe «„. 



» L'impossibilité de ce développement se démontre en faisant usage de 

 la formule 



et de celles que l'on obtient en différentiaut par rapport à ç. 



» Considérons les valeurs de w, -r-j ^— d ••■ |)our t» = -^- Lesdites for- 



mules nous donnent, en nous servant du lemme, les inégalités suivantes 

 valables pour toutes les valeurs de u appartenant à l'intervalle (o, ..., u^) 

 (si k est une constante convenablement choisie) 



â"' 



< e"" + (/? - i) ! I u„ 1 [/.„_, = u„ < ke"" (« = 1 , 2, 3, . . . ; -7., = 1 ). 



Nous trouvons de suite 



d"'+' w 



/ 2x-n:\ 



Oi'-"+^ ' V «'' 



H„ 



(•) Cf. par exemple Buncui, Vorlesungen iiber Differentialgeometrie, p. 447- 

 C. R., 1902, I" Semestre. (T. CXXXIV, N° 13.) 9^ 



