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OU I H„ |< (an) ! I ;/„ I ke"''\ d'où en appliquant le lemme 



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» Nous voyons immédiatement que le développement en question 

 de(o(?f„,(') n'est pas possible parce que la série de Taylor à considérer a 

 son rayon de convergence nid. 



» 2. M. Hilbert a démontré le théorème suivant, intéressant parce qu'il 

 prouve que le plan enlier àe Lobatschewsky ne peut pas se réaliser à la 

 manière de Beltrami ('). 



» Il n'existe pas une surface analytique à courbure constante négative 

 qui soit régulière en tous ses points. 



» J'indiquerai ici une démonstration simple de ce théorème (-). 



)) Il est facile de voir que, si une telle surface existait, l'angle tu entre 

 les lignes asymptotiques devrait être une intégrale de l'équation (i) régu- 

 lière pour toutes les valeurs de « et ^' {ii et v étant les coordonnées asymp- 

 totiques définies comme dans le Travail de M. Hilbert), qui reste comprise 

 entre o et t: et ne peut, en aucun point, atteindre une de ces limites (car, 

 en de tels points, les deux directions asymptotiques se confondraient) (^). 



» Une telle intégrale de (i) n'existe pas. 



» En effet, si elle existait, elle devrait vérifier la formule 



(a) (j(w, (')= (o(o, (')-+- (o(w, o)— i.;(o, o ) 4- / / ■^\nuidudv, 



où l'on peut supposer que u)(;/, o) est une fonction croissante de u dans l'in- 

 tervalle o5«5a, a étant choisi convenablement petit (en changeant l'ori- 

 gine et la direction des axes, on peut toujours satisfaire à cette con- 

 dition). 



» Ceci posé, soit b une quantité entre o et a. Nous supposons que le 

 point u,v reste dans le domaine compris entre w^o et u^=h dans la 

 moitié supérieure du plan. On voit immédiatement qu'd doit y avoir des 



points pour lesquels lo) = t: — -> où c:=a)(a, o) — w(6, o). Car si nous y 



(') TransacLions of ihe Anierica/i itiullwmdtical Society, t. Il, 1901, p. 87-97. 

 (') Il n'esl ])as nécessaire de su))|josei- que la surface soit aualvtliiue, seulement 

 qu'elle admet des dérivées de certains ordres. 

 (') Cl'. Hilbert, loc. cit.. p. 87-90. 



