SÉANCE DU 7 AVRIL 1 902. ' 763 



» En différentianton obtient 



- ^ cosa; — cos2a; -t- cos3a! — ..., .... 

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» résultat tout faux, car cette série est divergente. » 



« Mais, en gènè.Tal, la série trigonométrique que l'on obtient en diffé- 

 rentiant membre à membre la série de Fourier d'une fonction /(x) est, 

 connme on sait ('), divergente, lorsque lim/(£)^lim/(2TC — e) (un cas 



qui se présente très souvent dans les applications) et ne représente donc 

 pas la dérivée /'(a;). 



» Dans les lignes suivantes, nous voulons montrer que si l'on différentie 

 membre à membre la série de Fourier (-) 



(1) «0 + 2 {a„coinx ■+- b^sinnx), 



n = I 



f(œ)cosnxdx j 

 «o=— j^ J\x)dx, ^ ' (« = i,2,...,co), 



6„ r= - / f(^x)^\nnxdx \ 



correspondant à une fonction /(a;), ayant une dérivée continue /'(x), la 

 série obtenue 



(2) ^^(^nb„cosnx — na„sianx) 



est toujours simplement indéterminée (en faisant exception seulement pour 

 les extrémités o, 2-) et a pour somme /'(x). 



)> Nous employons l'expression simplement indéterminée avec M. Cesàro 

 dans le sens suivant : 



00 



» La série V u^ est simplement indéterminée et a pour somme U, 



(') Voir Kronecker-Netto, Vorlesungen nber bestimmle Intégrale, p. 98, 99. 

 (^) Nous prenons pour l'intervalle de développement rinlervalle 0,2-. Dans 



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l'exemple d'Abel c'est l'inlervalle — -, H- -, 



(5^ O fi- 



