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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le théorème fondamental de la théorie 

 des fonctions abéliennes. Noie de M. Paul Paixlevé. 



(' T^a théorie des fonctions abéliennes repose sur ce théorème : Toute 

 fonction méromorphe 2. n fois périodique de n variables est représentahle par le 

 quotient de deux fonctions fi à n arguments (où les arguments ont subi une 

 transformation linéaire convenable). 



» Ce théorème, énoncé par Riemann, a élé enseigné par Weierstrass, 

 qui n'a pas publié sa démonstration. Les belles démonstrations qui sont 

 dues à MM. Picard et Poincaré ( ' ) sont difficiles, soit en elles-mêmes, soit 

 par les connaissances qu'elles supposent. Une méthode synthétique, déve- 

 loppée par M. Appell (-) dans le cas de deux variables, admirable d'élégance 

 et de profondeur, s'appuie toutefois sur un théorème difficile concernant 

 les fonctions méromorphes de deux variables et exige la démonstration 

 (assez longue et délicate) d'un lemme relatif à une remarquable équation 

 fonctionnelle introduite par M. Guichard. 



» La démonstration, à la fois directe et élémentaire, que je vais indiquer 

 ici ne repose que sur les principes classiques de la théorie des fonctions 

 uniformes d'«/?e variable. J'établis d'abord trois lemmes. 



» Lemme L — Soient a une quantité dont la partie réelle n'est pas nulle et cp (u) 

 une fonction entière qui admet la période 1 ir:. Il existe une fonction analogue 

 (]/(«) qui vérifie la condition 



i{/(m-I- «) — t]/(u) = cp(«). 



« En effet, on peut représenter <p(m) par une série 



2 A«^"". 



et il suffit de prendre, pour ^(w), la fonction 



«=-4- 00 



A„ 



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(') Comptes rendus, 3 septembre i883, 21 et 28 juin 1897; Acta malhemalica, 

 1897. 



(-) Journal de Jordan, 1891, p. 157-219. 



