SÉANCE DU u\ AVRIL 1902. 8<)() 



» LEjnii; II. — Soient a,, a.. a„, . . . des (juuntik's qui croisscnl indéfi- 

 niment avec n et qui admettent (') fa période 1 i-. On peut former une fonc- 

 tion entière <^(u) qui admet la période ii~ et dont les zéros sont «,, a., 



o„ 



» Lemme ni. — Attachons à chaque quantité Oj un polynôme en —— — i 



soit l\j( — ' — )■ Si les l\j admettent (-), comme lesUj, la période 21-, on peut 



former une fonction méromorphe o(u), admettant la période li-, et dont les 

 DÔles et les développements polaires coïncident respectivement avec les aj et 

 les Ry. 



» Pour démontrer le lemme II, on pose bj=^ e"i, et l'on dislingiic, dans 

 la suite b, les valeurs // telles que | 6' | > r , et les valeurs h" telles que 

 I />■' I ■< I . Soit alors a- = c" ; un théorème classique de Weierstrass permet 

 de former une fonction entière g{x~) qui admet comme zéros les h' avec la 

 multiplicité voulue; soient de même j = e~" el h{y) une fonction entière 



de y qui admet comme zéros les valeurs jj,- Le produit g{e") X h(e~") est 



une fonction entière ?(") qui répond à la question. Le lemme III se 

 démontre de la même manière, à l'aide du théorème classique de Mittag- 

 Leffler. 



)) Ces lemmes établis, soit ç(«, v) une fonction méromorphe qui admet 

 quatre couples de périodes distincts, couples qu'il est loisible de ramener 

 à la forme (21-, o), (o, 2i~), (x, p), (a', fi'). Posons 



u =: X -\- iy, V ^= z -h II; 



les quatre couples de périodes représentent dans l'espace (j7,j', s, /) 

 quatre vecteurs non situés dans un même plan ; une au moins des quantités 

 y., 7.', soit a, a donc une partie réelle. 



M Considérons maintenant l'équation (p(tt, i') = o, équation qui no 

 change pas quand on augmente « ou f de 2.i~. Soient (pour une valei'ir 

 arbitrairement donnée de u) 



v = h,(u), v = h.,(u), ..., v = h,fu), 



(') J'entends par là que aj-\- 21- el cij — ■ lir. font partie de l'ensemble «,, a,, . _ . 

 en même temps que Oj. Si /) quantités a sont égales à «/, p autres, sont égales à 

 Oj -\- 1 ir. et p autres à dj — 2 ir.. 



(■-) J'entends par là que, si l'on pose U = > le polynôme R(U) attaché as, o,- 



' ' ' a — rt " ^ ' ' 



coïncide avec le polynôme analogue attaché à cij -\- 'li- ou à Oj — iLt.. 



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