8lO ACADÉMIE DES SCIENCES. 



les racines de cette équation ('). On déduit immédiatement de la quadruple 

 périodicité : i° que les fonctions h„{u) rei,tent //nies pour toute valeur finie 



de u et ne présentent que des singularités algéb?-i(]ues ; i° que la série V j^ — 



est ahsolumenl et uniformément convergente dans toute aire limitée du plan 

 des u qui ne renferme aucun zéro de la Jonction (p(M, o). 



» Ceci admis, formons la fonction entière en v et de genre 2 : 



(,) i(u..)^l[\{,^£)^-^ 



cette fonction est uniforme cnu et admet la période 2î7r, car elle ne change 

 pas quand on permute les quantités /t„ ; elle n'admet d'autres singularités 

 que les zéros « = a,, u=^a^, ..., de (û(m,o). Soient h^, h^, ..., h^ les 

 déterminations de /i(«) qui s'annulent pour u = Uj, soit k la multiplicité 



du zéro u^^^Uj dans le produit hi, hp, ..., h,., et soient Ey[ — ^ — )> Oji _^ j 



les développements polaires, autour de u = Oy, des deux sommes 



-, — Ht — 1-...+ 7— et-7-r + 7-r+...+ 7-;- Nous |)ouvons (lemmesll et III) 



''/ lip h, hj h;, h-. ' ^ '' 



former une fonction entière H(«) et deux fonctions méromorphes R(m), 

 L(m), admettant (-) la période 'lir:, telles que les zéros de H soient les 

 valeurs u = Uj (avec la multiplicité correspondante k), et que les pôles et 

 développements polaires de K, L soient respectivement les points «y et les 

 développements Ry, p^. La fonction 



■/\u,v) — 'i(«, v)\\{^u)e I- - ^ 



est alors une fonction entière en u, v qui ne change pas quand on augmente u 

 de 2i-. D'autre part, en groupant ensemble, dans l'égalité (i), les 

 valeurs /«„ congruentes par rapport à zi-, on voit aussitôt que <!^(u, c) peut 

 s'écrire 



égalité qui entraîne la suivante 



■/(u, V 4- li-) = -/(u, p-)e'^""'' + B""; 



(') On peut toujours faire en sorte, en augmentant o d'une constante, que 9 = 

 n'admette pas de racine u = Ui, indépendante de c. 



(^) Les aj, les Ry et les sy admettent la période 21- [voir la Note ('), p. 809]. 



