SÉANCE DU l4 AVRIT, 1902. 81 i 



la périodicité de»y («,<•), par rapport à u, exige que A(//j admcLLe la pé- 

 riode lir., ainsi que B(//) — «m ^B, (î^), n désignant un certain entier. 

 D'ailleurs, A et B, sont nécessairement des fonctions entières, et si l'on 



multiplie }( par e *'" ^ ^ -'" , on obtient une fonction e7i/ie>ecj(a, c) 



qui vérifie les conditions suivantes : 



(2) ct(m 4- 2m,(') = rô(?/,c). rô(H,(' + 2 m) = cî(f/,(')e"". 



)) Le quotient j est une fonction entière de (a, c), soitx, qui satisfait aux 



I-. . / \ .1. V!{U, <.•) 



mêmes égalités (2), et 1 on a o == — ^^ 



° ^ ^ • y.(u, \' ) 



» Introduisons maintenant le troisième couple de périodes (a, p). La 



transformation «= .-, «> == V + ^^ [qui ne change pas le couple 



(o,2«-)]. fait correspondre à (a, |3) un nouveau couple (2J7t, o). Raison- 

 nons sur les variables U, V comme sur u, c, et formons la fonction n(U, V) 

 analogue à j:s(u, i>). La définition de zs (et de II) et la relation entre t» et V 

 montrent aussitôt qu'on a 



^(u, v) = n(U, V) e^M-=+B.„..+c(,-) . 



en augmentant c et Y de 3.i-, on trouve 



A = O, B(?/) = ^ — I h A' (/?2, A- entiers ), 



et enfin, en tenant compte de ce fait que u et <> s'augmentent de a et p 

 quand U s'accroît de 2i-, 



c(;/+7., r+|E) = rô(w,r)e *^'" ' ; 



la périodicité de cr par rapport à u exige que la fonction entière F(;/) soit 

 de la forme /?/ -h F,(?/), F, admettant la période li-, et / désignant un 

 entier. Soit alors G(«) une fonction entière, de période iÏt., qui vérifie 

 (lemme I) la relation G(«H-a) — G(//) = F,(m); il suffit de multiplier 

 rj(w, c) par <?"""" pour annuler F,, et l'on a, après cette dernière transfor- 

 mation, 



/na , 



lu + v [ — , \-m ) 



(3) vs(u^7,, ('+ p) = T:s{u,ç)e ^■'"^ \ 

 On trouverait, de même, 



/ " a' \ 



/"-t-l'l !-/«') -t- F» (»l 



