8l2 ' ACADÉMTK DES SCIENCES. 



/', m' désignant des entiers et la fonction entière F^(«) admettant la pé- 

 l'iode 2?'-. En aiiîjmentnnt /^ r d;^ -j. -\- a', R + [i', on abontil à l'identité 



la fonction endêrcY^, qui admet la période lir. et s'augmente d'une con- 

 stante quand on change u en u -\- a, est nécessairement une constante, 

 soit c. On a donc 



(5) ly:+ rn'i'- l'y. - m'^î + ^('a'i' - [i-.') 4- 2/IC- = o, 



et cp est le quoùent de deux fonctions entières ra, ■/., qui vérifient les éga- 

 lités (2), (3), (4) [F2(«) étant remplacé par c dans l'équation (4)]- 



» La démonstration (') s'achève dès lors en quelques ligues. Toul 

 d'abord, les entiers /, m, /', m' , n, K ne sont pas tous nuls; sinon, la fonc- 

 tion entière tô{u, c) serait quadruplcment périodique et garderait, par 

 suite, un module inférieur à une quantité fixe. De plus, si « = o, le dé- 

 terminant Im' — ml' --=.0 est différent de zéro; autrement (comme on le voit 

 aussitôt), après une transformation linéaire efléctuée sur //, c, il existerait 

 deux couples de périodes distinct-, de la forme (to, o), (to,, o), et la fonc- 

 tion entière vi(^u, v) seiait une fonction elliptique de u de seconde es|)ècc, 

 ce qui est impossible. Cela po^é, soit cVahord n = o, substituons aux 

 couples (a, [i), (a', ['/ ) les coiiplcs disli/icis (A, K), (A', B') : 



A = niy.' — 77 1' x, B = A'= m';j — tn"^ := t y. — la.' — ui K-, 



13'=/'.!i-/fi'; 

 ou a 



cî(« -I- 2i77, c) = Tr>{u, v) — V5{ii, c -+- ii~), 

 Tu(u -+-A,i>-hl\)- c-2"^^î3(h, c), "(" + A', t'+ B') = ni(w, ç)e~^''^'' 



(£,£' = const. ), 



conditions qui caractérisent les fonctions 0. 



Le cas de « ^ o se ramène au précédent, en posant d'abord 



a, = /ly. -\- ■iiniT., {i, = rt[i - 'âUtz, 



a'j = nx' -f- -im' Ït., ^'^ = it'p' — 'il' ir.; 



(') Voir ÀPPr.LL, loc. cit.. ]>. 19G-201. 



