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)' On peut également provoquer l'électrolyse du sulfate de soude à l'aide 

 de forces électromotrices plus faibles, en ajoutant à l'avance, dans la tot;i- 

 lité de la dissolution de sulfate de soude, quelques gouttes d'une solution 

 de pyrogallol ; les teintes des deux branches d'ailleurs ne sont pas alors 

 les mêmes que sans pyrogallol et le virage est un peu moins sensible. Un 

 seul élément Daniel suffit pour le manifester. 



» En opérant avec les précautions qui viennent d'être décrites, on 

 réussit à manifester des traces à peine perceptibles d'électrolyse. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions abéliennes 

 à multiplication complexe. Note de M. G. Hcmbert. 



« La théorie de la multiplication complexe des fonctions abéliennes, 

 telle que je l'ai esquissée dans le Journal de Mathématiques (5" série, t. V 

 et VI), conduit à d'intéressantes conséquences arithmétiques. Je me bor- 

 nerai aujourd'hui à l'examen du cas où les périodes des fonctions abé- 

 liennes (à deux variables) considérées satisfont à deux relations singulières. 



» I. Les périodes étant ramenées à la forme normale (i, o); (o, i); 

 (g, h) ; (A, g'), ces deux relations sont du type 



(0 



Ao- +BA +Cg' +D(/i^ -gg') + E =0, 

 A, o- 4- B, A + C, g' + D, {h- - «-^'j 4- E, = o. 



A, B, . .., E, et de même A,, B,, ..., E, étant des entiers premiers entre 

 eux. 



» J'ai établi que les deux quantités 



(2) B='-4AC-4DE et B; - 4A, C, — 4D,E, 



sont des invariants pour toutes les transformations du premier ordre 

 d'Hermite; les deux relations (i) possèdent de plus un invariant simul- 

 tané, BB, — 2(AC, + CA,) — 2(I)E, + ED,), et la quantité 



(3) 



— [BB, - 2(AC, + CA.) - 2(DE, + ED,)]= 

 + (B- - 4 AC - 4 DE) (B; - 4 A, C, — 4 D, E, ) 



est un invariant pour le système des deux relations (i). 



» On établit que les invariants (2) et (3) doivent être positifs, pour que 



