SÉANCE DU 21 AVRIL 1902. 877 



l'expression /i',— gtg\< où g,, A,, g\ désignent les parties imaginaires de 

 g, h, g", puisse être négatives. 



» Observons enfin que nous avons le droit de supposer premiers entre 

 eux les déterminants tels que AB, — BA,, . . ., DE, — ED,, formés avec les 

 coefficients des équations (i) : dans le cas contraire, il suffirait de remplacer 

 une de ces équations par une de ses combinaisons linéaires avec l'autre. 



)) Pour simplifier l'écriture, nous admettrons que les coefficients B et B, 

 sont pairs; ce caractère se conserve dans toute transformation du premier 

 ordre. Les invariants (2) sont donc divisibles par 4; nous poserons 



A = 5!_AC-DE; A, = !^ - A.C, - DE,, 



et l'on aura 



à = -BB, - AC, -CA, -DE,- ED,, 



A>o; A,>o; lAA, -S^>o. 



» Cela posé, si/" et/", désignent les premiers membres des deux rela- 

 tions (i), l'invariant (2) de l'équation singulière ^f-hy/,, où a; et j sont 

 des entiers sans diviseur commun, est, après suppression du facteur 4> 



(4 ) '^x' + ^^y -+- ^1/". 



c'est-à-dire une forme quadratique binaire, positive, en a; et y. Cette forme 

 ne change pas si l'on opère sury"et /, une transformation du premier ordre, 

 puisque ses coefficients sont des invariants; elle se change en une forme 

 équivalente (proprement ou improprement) si l'on remplace les relations 

 y= o, y, ^ o par un système arilhméliquement équivalent : 



V ■+- kAi = o, r/-h [j-X = o, 



\, jj., V, jx' étant des entiers quelconques, tels que Xp.' — l'^j. = ± i . 



» Ainsi, à tout système de relations (i) correspond une classe de formes 

 quadratiques binaires positives, proprement ou improprement équivalentes 

 entre elles. 



M II. Réciproquement, si deux systèmes (i) donnent naissance à deux 

 formes équivalentes, F et F', ces deux systèmes sont réductibles l'un à 

 l'autre par une transformation du premier ordre, lorsque les deux formes 

 considérées sont primitives . 



» Soit, en effet, ax' -j- bxy -h cy- une forme équivalente aux deux 

 formes primitives données, F et F', et dans laquelle le coefficient a est pre- 



