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mier impair : une telle forme existe, en vertu d'un théorème célèbre de 

 Dirichlet sur les formes primitives. La forme F a été déduite, selon la for- 

 mule (4), de deux relations singulières /= o, /^ = o, du type (1) et, par 

 hypothèse, les deux formes 



ax^ -h- bxy -■)- cy- et Aa?^ + ^xy + A, j''' 



sont équivalentes. La seconde peut donc représenter (proprement) le 

 nombre a, c'est-à-dire que, parmi les relations xy-f- [j.fy = o, l'une a pour 

 invariant [\a, les nombres X et [j. étant premiers entre eux. Cette rela- 

 tion pourra, par une transformation du premier ordre, se ramener à 

 K^ — gg' — a = o, de sorte que le système /= o, /", = o sera arithmétique- 

 ment équivalent au suivant : 



(5) II- — gg' — a = o, a^+ 2PA-1- yo^'-H oj — o, 



en faisant disparaître le terme en fi' — gg' dans la dernière équation à 

 l'aide de la première. Toutes ces opérations ne changent pas la classe de 

 formes binaires liée aux équations singulières considérées. 



» On peut maintenant efléctiier une transformation du premier ordre 

 n'altérant pas la relation A- — gg' — a = o, et changeant la seconde rela- 

 tion (5) en une équation analogue où a = i et p = o. Le système (5) de- 

 vient alors 



(6) h^ — gg' — a = o, g — mg' — n^o, 



et la forme binaire correspondante, à savoir 



ax^ -t- nxy -\- my- , 



est toujours équivalente à ar^ H- èor^ -i- CJ-. En particulier, leurs discri- 

 minants sont égaux, c'est-à-dire que 



b'^ — n'^ =z [^a{c — m), 



ce qui montre que b ± n est divisible par a. Comme d'ailleurs b et n sont 

 nécessairement de même parité, on aura n =^dz b -h zap, d'où l'on dé- 

 duit m ^ c ± bf -h a f'. Or il est aisé de voir que la relation 



g — mg' —n-=o, c'est-à-dire g — {c±b^ -\-af^g' zç.b — ia^ =^ç>, 



peut se ramener au type g — cg —6 = 0, par une transformation du pre- 

 mier ordre n'altérant pas l'équation Ir — gg' — a = o. 



En d'autres termes, tous les systèmes de relations (i) qui donnent nais- 



