SÉANCE DU 21 AVRIL ig02. 879 



sance à une forme positive et primitive, d'une classe donnée, peuvent se 

 ramener, à l'aide de transformations du premier ordre, à un seul et même 

 système. 



» m. Cela posé, passons des relations singulières entre les périodes 

 aux relations correspondantes entre les modules. Nous choisirons pour 

 modules des fonctions abéliennes dérivées dun radical. 



sjpz^ + qz^t -F., 



rt" 



les trois invariants indépendants de la forme du sixième ordre sous le 

 signe \/ : si les périodes g, h, g' sont liées par une relation singulière d'in- 

 variant 4A, les trois modules vérifient une équation algébrique qui défi- 

 nit \a surface hypcrahèlienne d'invariant 4 A. 



» Supposons que les périodes soient liées par deux relations singulières 

 données du type (i) ; les modules sont fonctions d'un seul paramètre et le 

 point de l'espace qui a ces quantités pour coordonnées décrira une courbe 

 gauche algébrique. Cette courbe gauche, en vertu de ce qui précède, res- 

 tera la même si l'on remplace les équations (i) données par un système 

 analogue engendrant la même classe de formes quadratiques binaires (pro- 

 prement ou improprement équivalentes), pourvu que cette classe soit pri- 

 mitive. 



» En d'autres termes, à un invariant positif 4 A correspond une surface, 

 et à une classe de formes positives et primitives correspond une courbe; 

 de plus, si un nombre N est représentable proprement par une forme de 

 la classe, la surface d'invariant 4N contient la courbe de la classe, et réci- 

 proquement : car les nombres 4N sont les invariants des relations singu- 

 lières xf^yfi = o, déduites des relations /= o, y, = o, génératrices de 

 la classe. 



') De là une méthode, toute théorique, il est vrai, mais d'un caractère 

 intéressant, pour reconnaître si une forme quadratique binaire, positive et 

 primitive, peut, ou non, représenter proprement un nombre donné : le 

 problème se ramènera à constater si une sur/ace algébrique, qui ne dépend que 

 du nombre, contient ou non une courbe algébrique qui ne dépend que de la 

 forme. 



» S'il y a ^" représentations distinctes du nombre par la forme, la courbe 

 ChL multiple d'ordre k sur la surface, et réciproquement. 



» IV. Considérons maintenant les deux surfaces hyperabéliennes qui 

 répondent à deux invariants 4A et /^D, tels que A et D soient premiers 



\U3 



>> 



V 



