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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur la déformation continue des surfaces. 

 Note de M. G. Tzitzeica, présentée par M. Darboux. 



« C'est un théorème bien connu qu'on ne peut pas déformer une sur- 

 face si une des courbes tracées sur elle reste rigide, sauf dans le cas où 

 cette courbe est une ligne asymptotique. Cependant, je crois qu'on n'a 

 jamais donné d'exemple de la déformation continue d'une surface autour 

 d'une ligne asymptotique curviligne rigide. Les considérations suivantes 

 m'ont permis de trouver une classe de surfaces qui admettent une défor- 

 mation continue, avec conservation d'un réseau conjugué, autour de 

 l'une de leurs lignes asymplotiques. 



» J'ai démontré, il y a déjà quelque temps, qu'étant donnée la surface 



Il •' d- 3. 



x==A{a-h iO\" -!-«')'. y= B{b-+-uy(b-]-i')'-. 

 z = C(c+ u)-(c -hv)-, 



il y a une infinité de surfaces applicables sur elle et ayant en commun 

 avec elle le réseau conjugué (u, <), à savoir les surfaces 



(2) 



avec 



(3) 



j œ' = A' {a' + uf {a' + i>y , y' = "è' {b' + uf {b' + vf , 

 \ z'=.C{c' + uY{c' ^vf 



2A'= = 2A-, Ik'-a'r^lk^'a, 2A'-a'- = lA-«-, 



2A''a"--2A=a-, i A'-a'* = 2 A=a\ 



n II est intéressant de remarquer qu'on peut faire correspondre à tout 

 point de la surface (i) un point d'un certain plan qui coupe les axes 

 aux points a,, ^ et y. Les courbes coordonnées M = const., c = const. 

 correspondent à des droites qui enveloppent une parabole P inscrite au 

 triangle 1x^7; à cette parabole P du plan correspond la ligne asymptotique 

 M = r, qu'enveloppent par conséquent les courbes coordonnées. Si l'on 

 considère une autre parabole inscrite au triangle apy, on aura sur la sur- 

 face une autre ligne asymptotique, et aux tangentes de la nouvelle para- 

 bole correspondront les courbes d'un nouveau réseau conjugué qui reste 

 le même dans une déformation continue. 



» Cela étant, remarquons que, sur chacune des surfaces (2) de même 

 que sur (i), la courbe « = v est une ligne asymptotique; déplus, aux points 



